Question

設(shè)a、b、c分別為△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊，向量

m

=(

3

sinA，sinB)，

n

=(cosB，

3

cosA)，若

m

•

n

=1+cos(A+B)．
（1）求角C的大��；
（2）若a+b=4，c=2

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）本題先有向量的數(shù)量積得到三角關(guān)系式，然后利用A+B+C=π，轉(zhuǎn)換為角C的關(guān)系式，求出角C；
（2）利用（1）的結(jié)論以及余弦定理 c²=a²+b²-2abcosC，代入C的值，根據(jù)已知條件a+b=4，c=2

3

，求出ab，選擇公式S =

1

2

absinC可得面積．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=1+cos(A+B)以及

m

•

n

=(

3

sinA，sinB)• (cosB，

3

cosA)=

3

sin(A+B)
∴

3

sin(A+B)=1+cos(A+B)∴

3

sinC=1-cosC
∴2sin(C+

π

6

)=1∴sin(C+

π

6

)=

1

2

又∵

π

6

＜C+

π

6

＜

7π

6

∴C+

π

6

=

5π

6

∴C=

2π

3

（2）由已知，c=2

3

，a+b=4
∴c²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab=（a+b）²-ab，
∴12=16-ab，∴ab=4
∴S△ABC=

1

2

absinC=

3

點評：本題考查了解三角形的知識，綜合考查向量及其數(shù)量及運算，對余弦定理、三角形的面積公式等內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題目，只要細(xì)心分體條件，能很容易解答．