Question

（2011•洛陽二模）給出下列命題：
①已知

i

，

j

為互相垂直的單位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，且

a

，

b

的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是（-∞，

1

2

）；
②若某商品銷售量y（件）與銷售價格x（元/件）負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是

?

y

=10x+200；
③若x₁，x₂，x₃，x₄的方差為3，則3（x₁-1），3（x₂-1），3（x₃-1）），3（x₄-1）的方差為27；
④設(shè)a，b，C分別為△ABC的角A，B，C的對邊，則方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有公共根的充要條件是A=90°．
上面命題中，假命題的序號是

①②

（寫出所有假命題的序號）．

Answer 1

分析：根據(jù)λ=-2時，

a

，

b

同向，可判斷①的真假；
根據(jù)回歸系數(shù)符號與相關(guān)性的關(guān)系，可判斷②的真假；
根據(jù)數(shù)據(jù)增加a，數(shù)據(jù)的方差不變，數(shù)據(jù)擴(kuò)大a倍，數(shù)據(jù)的方差擴(kuò)大a²倍，可判斷③的真假；
根據(jù)充要條件的定義，分別判斷A=90°時設(shè)方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0的公共根和設(shè)方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0的公共根時，A=90°的真假，可判斷④的真假．

解答：解：∵λ=-2時，

a

，

b

同向，

a

，

b

的夾角為0，不是銳角，故①錯誤；
若某商品銷售量y（件）與銷售價格x（元/件）負(fù)相關(guān)，則其回歸方程的回歸系數(shù)

?

b

＜0，不可能是

?

y

=10x+200，故②錯誤
若x₁，x₂，x₃，x₄的方差為3，則（x₁-1），（x₂-1），（x₃-1）），（x₄-1）的方差為3，3（x₁-1），3（x₂-1），3（x₃-1）），3（x₄-1）的方差為3×3²=27，故③正確；
當(dāng)A=90°時，a²=b²+c²，則x²+2ax+b²=0?x²+2ax+a²-c²=0?[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，該方程有兩根x₁=-（a+c），x₂=-（a-c）．
同樣，x²+2cx-b²=0?[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，該方程亦有兩根x₃=-（c+a），x₄=-（c-a），顯然x₁=x₃，兩方程有公共根．
設(shè)方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0的公共根為m，則x²+2ax+b²=0加x²+2cx-b²=0得m=-（a+c）．m=0（舍去）．將m=-（a+c）代入（1）式，得[-（a+c）]²+2a•[-（a+c）]+b²=0，整理得a²=b²+c²，即A=90°，故④正確；
故答案為：①②

點評：本題又命題的真假判斷為載體考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，相關(guān)關(guān)系，方差的變化，充要條件等基礎(chǔ)知識，難度中檔．