已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在橢圓 上,過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn)處的切線分別為,且與交于點(diǎn).
(1) 求橢圓的方程;
(2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在,指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)); 若不存在,說明理由.
(1). (2)滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).
解析(1)試題分析:解法1:設(shè)橢圓的方程為,依題意:
解得: ∴ 橢圓的方程為.
解法2:設(shè)橢圓的方程為,根據(jù)橢圓的定義得,即, ∵, ∴. ∴ 橢圓的方程為.
(2) 解法1:顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,
由消去,得.
設(shè),則.
由,即得.
∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,即.
∵, ∴.
同理,得拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為.
由解得
∴. ∵,
∴點(diǎn)在橢圓上. ∴.
化簡(jiǎn)得.(*) 由,
可得方程(*)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. ∴滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).
解法2:設(shè)點(diǎn),,,由,即得.
∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,
即.∵, ∴ .
∵點(diǎn)在切線上, ∴. ①
同理, . ② 綜合①、②得,點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.∵經(jīng)過
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓的離心率為,軸被曲線截得的線段長(zhǎng)等于的短軸長(zhǎng)。與軸的交點(diǎn)為,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn),直線分別與相交于點(diǎn)。
(1)求、的方程;
(2)求證:。
(3)記的面積分別為,若,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)是,點(diǎn)到直線的距離為,過點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),使得|=3|.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,過作與軸垂直的直線與橢圓交于,而與拋物線交于兩點(diǎn),且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)和,
設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)).
(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4,),判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;
(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比等于5.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)記(1)中的軌跡為,過點(diǎn)的直線被所截得的線段的長(zhǎng)為8,求直線的方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;
(2)已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;
(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值.
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