Question

我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)A，若存在數(shù)列{a_n}和實(shí)數(shù)x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：．如：，則表示A是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），試將m表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式．
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，，（n∈N^*），是否存在實(shí)常數(shù)p和q，對(duì)于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，，求．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將m=（1-2x）（1+3x²）展開(kāi)，再根據(jù)定義，將m表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式．
（2）由題意，知{a_n}是周期為3的數(shù)列．假設(shè)存在實(shí)常數(shù)p和q，對(duì)于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q總成立，則由定義可得．
（3）先求=，再求極限．
解答：解：（1）m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³（1分）
則（3分）
（2）
∵∴
∴=a_n（n∈N*），知{a_n}是周期為3的數(shù)列     （6分）
假設(shè)存在實(shí)常數(shù)p和q，對(duì)于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q總成立，則：
===
∴．
即存在實(shí)常數(shù)，對(duì)于任意的n∈N*，總成立    （10分）
（3）=（14分）
∴，即（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為載體，考查數(shù)列及極限，關(guān)鍵是理解新定義，合理轉(zhuǎn)化，需要計(jì)算細(xì)心．