(2008•奉賢區(qū)模擬)我們規(guī)定:對于任意實數(shù)A,若存在數(shù)列{an}和實數(shù)x(x≠0),使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,則稱數(shù)A可以表示成x進制形式,簡記為:A=
.
x\~(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
.如:A=
.
2\~(-1)(3)(-2)(1)
,則表示A是一個2進制形式的數(shù),且A=-1+3×2+(-2)×22+1×23=5.
(1)已知m=(1-2x)(1+3x2)(其中x≠0),試將m表示成x進制的簡記形式.
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=2,ak+1=
1
1-ak
,k∈N*
,bn=
.
2\~(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
(n∈N*),是否存在實常數(shù)p和q,對于任意的n∈N*,bn=p•8n+q總成立?若存在,求出p和q;若不存在,說明理由.
(3)若常數(shù)t滿足t≠0且t>-1,dn=
.
t\~(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
,求
lim
n→∞
dn
dn+1
分析:(1)先將m=(1-2x)(1+3x2)展開,再根據(jù)定義,將m表示成x進制的簡記形式.
(2)由題意,知{an}是周期為3的數(shù)列.假設存在實常數(shù)p和q,對于任意的n∈N*,bn=p•8n+q總成立,則由定義可得p=
2
7
,q=-
2
7

(3)先求dn=
C
1
n
+
C
2
n
t+
C
3
n
t2+
C
4
n
t3…+
C
n
n
tn-1=
C
1
n
t+
C
2
n
t2+
C
3
n
t3+…+
C
n
n
tn
t
=
[
C
0
n
+
C
1
n
t+
C
2
n
t2+
C
3
n
t3+…+
C
n
n
tn]-1
t
=
(1+t)n-1
t
,再求極限.
解答:解:(1)m=(1-2x)(1+3x2)=1-2x+3x2-6x3(1分)
m=
.
x\~(1)(-2)(3)(-6)
(3分)
(2)a2=-1,a3=
1
2
a4=2,a5=-1,a6=
1
2

an+1=
1
1-an
an+2=
1
1-an+1
=
1
1-
1
1-an
=
1-an
-an

an+3=
1
1-an+2
=
1
1+
1-an
an
=an(n∈N*),知{an}是周期為3的數(shù)列     (6分)
假設存在實常數(shù)p和q,對于任意的n∈N*,bn=p•8n+q總成立,則:bn=
.
2\~(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

=[2+(-1)×2+
1
2
×22]+[2×23+(-1)×24+
1
2
×25]
+…+[2×23n-3+(-1)×23n-2+
1
2
×23n-1]
=[2+(-1)×2+
1
2
×22]×(1+23+26+…+23n-3)
=
1-8n
1-8
=
2
7
×8n-
2
7

p=
2
7
,q=-
2
7

即存在實常數(shù)p=
2
7
,q=-
2
7
,對于任意的n∈N*,bn=
2
7
8n-
2
7
總成立    (10分)
(3)dn=
C
1
n
+
C
2
n
t+
C
3
n
t2+
C
4
n
t3…+
C
n
n
tn-1=
C
1
n
t+
C
2
n
t2+
C
3
n
t3+…+
C
n
n
tn
t
=
[
C
0
n
+
C
1
n
t+
C
2
n
t2+
C
3
n
t3+…+
C
n
n
tn]-1
t
=
(1+t)n-1
t
(14分)
lim
n→∞
dn
dn+1
=
lim
n→∞
(1+t)n-1
(1+t)n+1-1
=
1
1+t
|1+t>1
1|1+t<1
,即
lim
n→∞
dn
dn+1
=
1
1+t
,t>0
1,-1<t<0
(18分)
點評:本題以新定義為載體,考查數(shù)列及極限,關鍵是理解新定義,合理轉化,需要計算細心.
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x+y
2
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1
2
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.
x\~(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
.如:A=
.
2\~(-1)(3)(-2)(1)
,則表示A是一個2進制形式的數(shù),且A=-1+3×2+(-2)×22+1×23=5.
(1)已知m=(1-2x)(1+3x2)(其中x≠0)),試將m表示成x進制的簡記形式.
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=2,ak+1=
1
1-ak
,k∈N*
bn=
.
2\~(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
(n∈N*).求證:bn=
2
7
8n-
2
7

(3)若常數(shù)t滿足t≠0且t>-1,dn=
.
t\~(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
,求
lim
n→∞
dn
dn+1

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