Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₂=a+2（a為常數(shù)），S_n是{a_n}的前n項和，且S_n是na_n與na的等差中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為-

2

3

的等比數(shù)列，T_n是{b_n}的前n項和，問是否存在常數(shù)a，使a₁₀•T_n＜12恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由S_n是na_n與na的等差中項，我們易得2S_n=na_n+na，進(jìn)一步得到2S_n-1=na_n-1+（n-1）a，由于關(guān)系式中即有S_n又有a_n故可根據(jù)a_n⁼S_n^-S_n-1，將上述公式相減得到數(shù)列的遞推公式，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項公式．
（2）根據(jù)已知條件，不難寫出數(shù)列{b_n}的前n項和公式T_n，結(jié)合（1）的結(jié)論，可構(gòu)造出一個關(guān)于a 的不等式，解不等式，可得滿足條件的a的取值范圍．

解答：解：（1）由已知得：2S_n=na_n+na，
所以當(dāng)n≥2時2S_n-1=（n-1）a_n-1+（n-1）a．
兩式相減得：2a_n=na_n-（n-1）a_n-1+a，
整理得：（n-1）a_n-1=（n-2）a_n+a．
當(dāng)n≥3時，上式可化為：

an-1

n-2

-

an

n-1

=

a

(n-2)(n-1)

=a(

1

n-2

-

1

n-1

)，
于是：(

an-1

n-2

-

an

n-1

)+(

an-2

n-3

-

an-1

n-2

)++(a2-

a3

2

)=a[(

1

n-2

-

1

n-1

)+(

1

n-3

-

1

n-2

)++(1-

1

2

)]?a2-

an

n-1

=a(1-

1

n-1

)?an=2n+a-2．
又，2a₁=a₁+a?a₁=a，a₂=a+2均滿足上式，
故a_n=2n+a-2（n∈N^*）
（2）因為b1=1，q=-

2

3

，
所以Tn=

1-(- 2 3 )n

1-(- 2 3 )

=

3

5

[1-(-

2

3

)n]．
又a₁₀=a+18，所以a₁₀•T_n＜12
可化為

3

5

(a+18)[1-(-

2

3

)n]＜12，
整理得：a＜

20

1-(- 2 3 )n

-18．
令f(n)=1-(-

2

3

)n，
則當(dāng)n為奇數(shù)時，1＜f(n)≤

5

3

；
當(dāng)n為偶數(shù)時，

5

9

≤f(n)＜1．
所以，fmax=f(1)=

5

3

，
故a＜

20

5 3

-18=-6．
故存在常數(shù)a，使a₁₀•T_n＜12恒成立，
其范圍是（-∞，-6）．

點評：本題是數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，考查的知識點多而且均為難點，對于此類型的問題處理方法為：1．審題--弄清題意，分析涉及哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容，在每個數(shù)學(xué)內(nèi)容中，各是什么問題.2．分解--把整個大題分解成幾個小題或幾個“步驟”，每個小題或每個小“步驟”分別是數(shù)列問題、函數(shù)問題、解析幾何問題、不等式問題等.3．求解--分別求解這些小題或這些小“步驟”，從而得到整個問題的解答