Question

已知四邊形ABCD，AB=AD=

2

，BC=CD=1，BC⊥CD，將四邊形沿BD折起，使A′C=

3

，如圖所示．
（1）求證：A′C⊥BD；
（2）求二面角D-A′B-C的余弦值的大小．

Answer 1

分析：（1）取BD的中O點(diǎn)，連CO，A′O，根據(jù)等腰三角形三線合一，結(jié)合線面垂直的判定定理可得BD⊥平面A′CO，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到A′C⊥BD；
（2）取A′B、A′C的中點(diǎn)M、N，連DM，MN，DN，可證得△A′BD是正三角形，△A′CD和△A′BC是直角三角形，根據(jù)二面角的定義，可得∠DMN即二面角D-A′B-C的平面角，解三角形，可求二面角D-A′B-C的余弦值的大小．

解答：證明：（1）取BD的中O點(diǎn)，連CO，A′O，
∵A′B=A′D=

2

，BC=CD=1，
∴CO⊥BD，A′O⊥BD，
又∵CO∩A′O=O，CO，A′O?平面A′CO
∴BD⊥平面A′CO，
又∵A′C?平面A′CO，
∴A′C⊥BD
（2）∵BC⊥CD，BC=CD=1
∴BD=

2

，
∴△A′BD是正三角形，
取A′B、A′C的中點(diǎn)M、N，連DM，MN，DN，
則DM⊥A′B，
又∵A′C=

3

，A′B=

2

，BC=1，
∴A′B²+BC²=A′C²，A′D²+DC²=A′C²
即BC⊥A′B，CD⊥A′D，
∵M(jìn)N∥BC，
∴MN⊥A′B，
所以∠DMN即二面角D-A′B-C的平面角
∵DM=

6

2

，DN=

3

2

，
∴cos∠DMN=

6

3

，即二面角D-A′B-C的余弦值為

6

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的性質(zhì)，解答（1）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線面垂直與線線垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，解答（2）的關(guān)鍵是求出二面角的平面角．