已知G為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且
AB
+
AC
=3
AG
．
（1）化簡(jiǎn)
AG
+
BG
+
CG
；
（2）若O為平面內(nèi)不同于G的任意一點(diǎn)，求證：
OG
=
1
3
（
OA
+
OB
+
OC
）．
分析：（1）由G為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且
AB
+
AC
=3
AG
．可得點(diǎn)G為△ABC的重心．利用重心的性質(zhì)即可得出．
（2）由（1）可得
AG
+
BG
+
CG
=
0
．可得
OG
-
OA
+
OG
-
OB
+
OG
-
OC
=
0
，化簡(jiǎn)即可．
解答：（1）解：∵G為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且
AB
+
AC
=3
AG
．精英家教網(wǎng)
∴點(diǎn)G為△ABC的重心．
∴
AG
+
BG
+
CG
=
1
3
(
AB
+
AC
)+
1
3
(
BA
+
BC
)+
1
3
(
CA
+
CB
)=
0
．
（2）證明：由（1）可得
AG
+
BG
+
CG
=
0
．
∴
OG
-
OA
+
OG
-
OB
+
OG
-
OC
=
0
，
化為
OG
=
1
3
(
OA
+
OB
+
OC
)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的重心定理的性質(zhì)、向量的運(yùn)算法則，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知△ABC中，∠C=
π
2
．設(shè)∠CBA=θ，BC=a，它的內(nèi)接正方形DEFG的一邊EF在斜邊AB上，D、G分別在AC、BC上．假設(shè)△ABC的面積為S，正方形DEFG的面積為T．
（1）用a，θ表示△ABC的面積S和正方形DEFG的面積T；
（2）設(shè)f(θ)=
T
S
，試求f（θ）的最大值P，并判斷此時(shí)△ABC的形狀；
（3）通過對(duì)此題的解答，我們是否可以作如下推斷：若需要從一塊直角三角形的材料上裁剪一整塊正方形（不得拼接），則這塊材料的最大利用率要視該直角三角形的具體形狀而定，但最大利用率不會(huì)超過第（2）小題中的結(jié)論P(yáng)．請(qǐng)分析此推斷是否正確，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•朝陽區(qū)一模）已知矩形ABCD中，AB=
2
，AD=1，將△ABD沿BD折起，使點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影落在DC上，E、F、G分別為棱BD、AD、AB的中點(diǎn)．
（1）求證：DA⊥平面ABC；
（2）求點(diǎn)C到平面ABD的距離；
（3）求二面角G-FC-E的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•臺(tái)州一模）已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c和“偽二次函數(shù)”g（x）=ax2+bx+clnx（a、b、c∈R，abc≠0），
（I）證明：只要a＜0，無論b取何值，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；
（Ⅱ）在二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c圖象上任意取不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，記直線AB的斜率為k，（i）求證：k=f′（x0）；（ii）對(duì)于“偽二次函數(shù)”g（x）=ax2+bx+clnx，是否有（i）同樣的性質(zhì)？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江蘇省高三下學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(本小題滿分14分)如圖，已知四面體ABCD的四個(gè)面均為銳角三角形，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.

 

 

(1) 求證：HG∥平面ABC；

(2) 請(qǐng)?jiān)诿鍭BD內(nèi)過點(diǎn)E作一條線段垂直于AC，并給出證明．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆山西省晉商四校高二下學(xué)期聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知直三棱柱中, , ， 是和的交點(diǎn), 若.

（1）求的長(zhǎng)；  （2）求點(diǎn)到平面的距離；

（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運(yùn)用。第一問中，利用ACCA為正方形, AC=3

第二問中，利用面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD=，第三問中，利用三垂線定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值為

解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 ……………  5分

(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 過E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB

CHE為二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為 ……… 12分

解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

=(2, －, －), =(0, －3, －h(huán))  ……… 4分

·=0,  h=3

(2)設(shè)平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

點(diǎn)A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分

(3) 設(shè)平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C－AB－C的大小滿足cos== ………  11分

二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為

 

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