(2011•許昌一模)選修4-5;不等式選講
(Ⅰ)解不等式:|2x-1|-|x-2|<0;
(Ⅱ)設(shè)a>0為常數(shù),x,y,z∈R,x+y+z=a,x2+y2+z2=
a22
,求z的取值范圍.
分析:(Ⅰ)對x的取值情況分類討論,去掉絕對值符號,轉(zhuǎn)化為一次不等式解即可;
(Ⅱ)將已知條件變形,x+y=a-z,x2+y2=
a2
2
-z2,利用柯西不等式可得(x+y)2≤2(x2+y2),從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于z的一元二次不等式3z2-2az≤0,解之即可.
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)x<
1
2
時,原不等式化為1-2x+x-2<0⇒-1<x<
1
2
;
當(dāng)
1
2
≤x≤2時,原不等式化為2x-1+x-2<0⇒
1
2
≤x<1;
當(dāng)x>2時,原不等式化為2x-1-x+2<0⇒x<-1⇒x∈Φ;
綜上,原不等式的解集為{x|-1<x<1}.(5分)
(Ⅱ)因為x+y=a-z,x2+y2=
a2
2
-z2
所以,由柯西不等式得(x+y)2≤2(x2+y2),即(a-z)2≤2(
a2
2
-z2),
即3z2-2az≤0,
所以z的取值范圍是z∈[0,
2a
3
](10分).
點(diǎn)評:本題考查絕對值不等式的解法,考查分類討論思想與柯西不等式的應(yīng)用,考查一元二次不等式,屬于中檔題.
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