(2013•廣東)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-kx2+x(k∈R).
(1)當(dāng)k=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)k<0時(shí),求函數(shù)f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.
分析:(1)當(dāng)k=1時(shí),求出f′(x)=3x2-2x+1,判斷△即可得到單調(diào)區(qū)間;
(2)解法一:當(dāng)k<0時(shí),f′(x)=3x2-2kx+1,其開口向上,對稱軸x=
k
3
,且過(0,1).分△≤0和△>0即可得出其單調(diào)性,進(jìn)而得到其最值.
解法二:利用“作差法”比較:當(dāng)k<0時(shí),對?x∈[k,-k],f(x)-f(k)及f(x)-f(-k).
解答:解:f′(x)=3x2-2kx+1
(1)當(dāng)k=1時(shí)f′(x)=3x2-2x+1,
∵△=4-12=-8<0,∴f′(x)>0,f(x)在R上單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)k<0時(shí),f′(x)=3x2-2kx+1,其開口向上,對稱軸x=
k
3
,且過(0,1)
(i)當(dāng)△=4k2-12=4(k+
3
)(k-
3
)≤0
,即-
3
≤k<0
時(shí),f′(x)≥0,f(x)在[k,-k]上單調(diào)遞增,
從而當(dāng)x=k時(shí),f(x)取得最小值m=f(k)=k,
當(dāng)x=-k時(shí),f(x)取得最大值M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k.
(ii)當(dāng)△=4k2-12=4(k+
3
)(k-
3
)>0
,即k<-
3
時(shí),令f′(x)=3x2-2kx+1=0
解得:x1=
k+
k2-3
3
x2=
k-
k2-3
3
,注意到k<x2<x1<0,
∴m=min{f(k),f(x1)},M=max{f(-k),f(x2)},
f(x1)-f(k)=
x
3
1
-k
x
2
1
+x1-k=(x1-k)(
x
2
1
+1)>0
,∴f(x)的最小值m=f(k)=k,
f(x2)-f(-k)=
x
3
2
-k
x
2
2
+x2-(-k3-k•k2-k)=(x2+k)[(x2-k)2+k2+1]<0

∴f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.
綜上所述,當(dāng)k<0時(shí),f(x)的最小值m=f(k)=k,最大值M=f(-k)=-2k3-k
解法2:(2)當(dāng)k<0時(shí),對?x∈[k,-k],都有f(x)-f(k)=x3-kx2+x-k3+k3-k=(x2+1)(x-k)≥0,
故f(x)≥f(k).
f(x)-f(-k)=x3-kx2+x+k3+k3+k=(x+k)(x2-2kx+2k2+1)=(x+k)[(x-k)2+k2+1]≤0,
故f(x)≤f(-k),而 f(k)=k<0,f(-k)=-2k3-k>0.
所以 f(x)max=f(-k)=-2k3-k,f(x)min=f(k)=k.
點(diǎn)評:熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想方法、作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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(1)當(dāng)k=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)k∈(
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,1]
時(shí),求函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值M.

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