Question

【題目】定義數(shù)列，如果存在常數(shù)，使對任意正整數(shù)，總有，那么我們稱數(shù)列為“—擺動數(shù)列”．

（）設， ， ，判斷數(shù)列， 是否為“—擺動數(shù)列”，并說明理由；

（2）已知“—擺動數(shù)列”滿足： ，求常數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）不是， 是；（2）.

【解析】試題分析：（1）假設數(shù)列是“—擺動數(shù)列”，由定義知存在常數(shù)，總有對任意成立，通過給取值說明常數(shù)不存在即可，對于數(shù)列，通過觀察取，然后按照定義論證即可；（2）根據(jù)數(shù)列為“—擺動數(shù)列”，及，可推出，由此可推出，同理可推出，從而不等式可證.

試題解析：（）假設數(shù)列是“—擺動數(shù)列”，即存在常數(shù)，總有對任意成立，取時，則，取時，則，顯然常數(shù)不存在,

所以數(shù)列不是“—擺動數(shù)列”，

由于，所以對任意成立，其中，

所以數(shù)列是“—擺動數(shù)列”.

（）由于， ，數(shù)列為“—擺動數(shù)列”，

所以存在常數(shù)滿足，使得對任意正整數(shù)，總有成立，

且有成立，則成立，

所以， ，

所以，

即，解得，

即，

又由得，解得，

即，

綜上可得．