已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0),焦點(diǎn)F(0,1).

(1)求拋物線C的方程.

(2)過(guò)F作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn).若直線AO,BO分別交直線l:y=x-2于M,N兩點(diǎn),求|MN|的最小值.

【解題提示】(1)知道拋物線的焦點(diǎn)易求拋物線的方程;(2)可以先設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)(設(shè)而不求),設(shè)出直線的方程,由已知條件把|MN|表示出來(lái),進(jìn)行求解.

【解析】(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則=1,p=2,

所以拋物線C的方程為x2=4y.

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

直線AB的方程為:y=kx+1,

由消去y,整理得x2-4kx-4=0,

所以x1+x2=4k,x1x2=-4,

從而|x1-x2|=4,

由解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM===,

同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN=,

所以|MN|=|xM-xN|

=

=8

=.

令4k-3=t,t≠0,則k=,

當(dāng)t>0時(shí),|MN|=2>2,

當(dāng)t<0時(shí),|MN|=2≥,

綜上所述,當(dāng)t=-,即k=-時(shí),|MN|的最小值是.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C′的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，拋物線C在x軸上的焦點(diǎn)恰好是橢圓C′的焦點(diǎn)
（Ⅰ）若拋物線C和橢圓C′都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，2），求拋物線C和橢圓C′的方程；
（Ⅱ）已知?jiǎng)又本�l過(guò)點(diǎn)p（3，0），交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，直線l′：x=2被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值，求拋物線C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，分別過(guò)A，B的拋物線C的兩條切線的交點(diǎn)E的軌跡為D，直線AB與軌跡D交于點(diǎn)F，求|EF|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•廣東）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為
3
2
2
，設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF|•|BF|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)為（1，0），焦點(diǎn)在x軸上，若直線y=x+2交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（5，7），求拋物線C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•東莞一模）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P（2，2）為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若P（1，1）為線段AB的中點(diǎn)，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2=2x
y2=2x
．

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