【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),求證:對(duì)任意的.
【答案】(1)在上是單調(diào)遞減的函數(shù);(2)詳見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的取值情況分析的單調(diào)性;(2)令,求導(dǎo),分析其單調(diào)性,進(jìn)而研究其取值情況,問(wèn)題等價(jià)于證明即可得證..
試題解析:(1)當(dāng)時(shí), , ,
,∵當(dāng)時(shí), ,∴,∴在上是單調(diào)遞減的函數(shù);(2)設(shè), , ,令, 則,當(dāng)時(shí), ,有,∴在上是減函數(shù),即在上是減函數(shù),
又∵, ,∴存在唯一的,使得, ∴當(dāng)時(shí), , 在區(qū)間單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí), , 在區(qū)間單調(diào)遞減,因此在區(qū)間上
,
∵,∴,將其代入上式得
,
令, ,則,即有, ,
∵的對(duì)稱軸,∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),且,
∴,( ),即任意, ,∴,因此任意, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知底面,異面直線和所成角等于.
(1)求證: 平面平面;
(2)求直線和平面所成角的正弦值;
(3) 在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面與平面所成銳二面角的正切值為?若存在,指出點(diǎn)在棱上的位置,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=na1+(n﹣1)a2+…+2an﹣1+an , n∈N* , 已知b1=m, ,其中m≠0.
(1)求數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公比;
(2)當(dāng)m=1時(shí),求bn;
(3)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有Sn∈[1,3],求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【河北省衡水中學(xué)2017屆高三上學(xué)期五調(diào)】已知橢圓,圓的圓心在橢圓上,點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線,且交橢圓于兩點(diǎn),直線交圓于兩點(diǎn),且為的中點(diǎn),求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面為正三角形,且面面, 分別為棱的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)(文科)求三棱錐的體積;
(理科)求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為原點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)判斷直線與曲線的位置關(guān)系;
(2)過(guò)直線上的點(diǎn)作曲線的切線,求切線長(zhǎng)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,g(x)=x2+2mx+
(1)用定義法證明f(x)在R上是增函數(shù);
(2)求出所有滿足不等式f(2a﹣a2)+f(3)>0的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合;
(3)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1∈[﹣1,1],都存在一個(gè)實(shí)數(shù)x2∈[﹣1,1],使得f(x1)=g(x2),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線(為參數(shù)),將上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的和倍后得到曲線.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知直線.
(1)試寫出曲線的極坐標(biāo)方程與曲線的參數(shù)方程;
(2)在曲線上求一點(diǎn),使點(diǎn)到直線的距離最小,并求此最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓: 經(jīng)過(guò)橢圓: 的左右焦點(diǎn),且與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為,且三點(diǎn)共線,直線交橢圓于, 兩點(diǎn),且().
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)三角形的面積取得最大值時(shí),求直線的方程.
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