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（本題滿分12分）
如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得. ，為的中點．

（1）當時，求平面與平面的夾角的余弦值；
（2）當為何值時，在棱上存在點，使平面？

（1）（2）2

解析試題分析：（1）分別取、的中點、，連接、．
以直線、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

，則、、的坐標分別為
（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），
∴=（-1，，2），=（-2，0，3）
設平面的法向量，
由得
，可取         …… 3分
平面的法向量可以取           
∴           …… 5分
∴平面與平面的夾角的余弦值為．                  ……6分
（2）在（1）的坐標系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．
因在上，設，則

∴
于是平面的充要條件為

由此解得，    ……10分
即當=2時，在上存在靠近的第一個四等分點，使平面. ……12分
考點：空間向量求解二面角，判定線面垂直
點評：空間向量解決立體幾何問題的關鍵是建立合適的坐標系，找準相關點的坐標

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面ABCD是一直角梯形，，,，且PA=AD=DC=AB=1.

(1)證明：平面平面
(2)設AB,PA,BC的中點依次為M、N、T，求證：PB∥平面MNT
(3)求異面直線與所成角的余弦值

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

(本題13分)
如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.分別是的中點.

(1) 求證：；
(2) 求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，P為側棱SD上的點．

（Ⅰ）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，則側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）在幾何體ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中點，AB=AC=BE=2，CD=1

（Ⅰ）求證：DC∥平面ABE；
（Ⅱ）求證：AF⊥平面BCDE；
（Ⅲ）求證：平面AFD⊥平面AFE．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖所示，四棱錐中，底面為正方形，平面，，，，分別為、、的中點．

（1）求證：；
（2）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

圖形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中點．AC，BD交于O點．

（1）二面角Q－BD－C的大�。�
（2）求二面角B－QD－C的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

（I）求證：平面BCD；
（II）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（III）求點E到平面ACD的距離。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
如圖，在三棱錐S－ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC．

(Ⅰ)求證：AD⊥平面SBC；
(Ⅱ)試在SB上找一點E，使得平面ABS⊥平面ADE，并證明你的結論．

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