Question

（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點為F，過點F作直線與拋物線交于A，B兩點，拋物線的準線與軸交于點C。
（1）證明：；
（2）求的最大值，并求取得最大值時線段AB的長。

Answer 1

解：
（Ⅰ）由題設知，F(xiàn)(，0)，C(－，0)，
設A(x­₁，y₁)，B(x₂，y₂)，直線l方程為x＝my＋，
代入拋物線方程y²＝2px，得y²－2pmy－p²＝0．
y₁＋y₂＝2pm，y₁y₂＝－p²．                                    …4分
不妨設y₁＞0，y₂＜0，則∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF．                    …8分此時∠ACF取最大值，∠ACB＝2∠ACF取最大值，
并且A(，p)，B(，－p)，|AB|＝2p．                     …12分

本題以直線和拋物線的位置關系為背景考查角的證明以及最值問題，考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，第一問可通過直線和方程聯(lián)立，借助韋達定理和計算角的正切值進行證明；第二問借助第一問的結(jié)論，借助均值不等式進行求解最值.