Question

【題目】2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時間段內通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9:20~9:40記作區(qū)間，9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作.例如：10點04分，記作時刻64.

（1）估計這600輛車在9:20~10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）為了對數(shù)據進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；

（3）由大數(shù)據分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻T服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)（結果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據：若，則，，.

Answer 1

【答案】（1）10點04分（2）分布列見解析， （3）819輛

【解析】

（1）利用頻率分布直方圖和平均數(shù)的計算公式，即可求得這600輛車在9:20~10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值；

（2）結合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法求得隨機變量的可能取值，求出相應的概率，得到的分布列，利用期望的公式，求得其數(shù)學期望；

（3）由（1）可得，得到，得到概率，即可求解在9:46~10:40這一時間段內通過的車輛數(shù).

（1）由題意，這600輛車在9:20~10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值為

，即10點04分.

（2）結合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知：抽取的10輛車中，在10:00前通過的車輛數(shù)就是位于時間分組中在這一區(qū)間內的車輛數(shù)，即，所以X的可能取值為0，1，2，3，1.

所以，，，

，，

所以X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P

所以.

（3）由（1）可得，

，

所以.

估計在9:46~10:40這一時間段內通過的車輛數(shù)，也就是通過的車輛數(shù)，

由，

，

所以，估計在9:46~10:40這一時間段內通過的車輛數(shù)為輛.