Question

設(shè)F₁、F₂分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|F₁F₂|=2c以O(shè)為圓心，以c為半徑的圓與雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)及F₁、F₂恰好構(gòu)成正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)．則雙曲線的離心率e=

 

．

Answer 1

分析：由已知中，以O(shè)為圓心，以c為半徑的圓與雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)及F₁、F₂恰好構(gòu)成正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，我們易求出該正六邊形的邊長及不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離，進(jìn)而求出2a的值，代入離心率表達(dá)式e=

c

a

即可得到答案．

解答：解：∵以c為半徑的圓與雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)及F₁、F₂恰好構(gòu)成正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)
∴該正六邊形的邊長為c，
則2a=（

3

-1）c
則雙曲線的離心率e=

c

a

=

2c

2a

=

2c

( 3 -1)c

=

3

+1
故答案為：

3

+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線的簡單性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件，計(jì)算出a值，是解答本題的關(guān)鍵．