Question

（本小題滿分14分)如圖，橢圓：的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率．過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為．

（Ⅰ）求橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線：與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)．試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.

試題分析：（Ⅰ）∵過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為．
∴∴∵，∴,∴
∴橢圓的方程為                                          ……4分
（Ⅱ）由，消元可得:       ……5分
∵動(dòng)直線：與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴∴∴,     
此時(shí)即,
由得                                   　　　……8分
取，此時(shí)，
以為直徑的圓為，交軸于點(diǎn),
取，此時(shí)，
以為直徑的圓為交軸于點(diǎn)或,
故若滿足條件的點(diǎn)存在，即，                                ……1２分
證明如下
∵，
∴
故以為直徑的圓恒過(guò)軸上的定點(diǎn).                          ……1４分
點(diǎn)評(píng)：遇到直線與橢圓的位置關(guān)系的題目，往往免不了要把直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答，有時(shí)也和向量結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題，運(yùn)算量比較大，難度中等偏上，但是是高考中常考的題目，必須加以重視.