【題目】已知函數.
(1)若時,討論在區(qū)間上零點個數;
(2)若當時,恒成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1)一個零點;(2)
【解析】
分和兩種情況進行分類討論,利用零點存在性定理進行判斷即可;
利用分類討論思想,分,,分別求解函數的導數,利用導數判斷函數的單調性,求出函數在上的最小值即可.
(1)當時,,
當時,,故,
故在上無零點;
當時,,
因為,,故,
因此在上單調遞增.
因為,,
故存在唯一使得.
綜上知,在區(qū)間上有一個零點;
(2)當時,,
①當時,因為,,,
故,所以在上單調遞增.
故,符合題意;
②當時,令,,
故在上單調遞增,
故,可得,
所以在上單調遞增,
因此,符合題意;
③當時,令,
則,,
令,,
故,故,
由零點存在性定理可知,存在使得,
所以在上,在上,
故在上單調遞減,在上單調遞增,
當時,,與題意矛盾,
故不符合題意.
綜上可得,實數的取值范圍為.
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【題目】下列四個命題中,真命題的個數是 ( 。
①命題:“已知 ,“”是“”的充分不必要條件”;
②命題:“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件;
③命題:已知冪函數的圖象經過點(2,),則f(4)的值等于;
④命題:若,則.
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,過點的直線與有兩個不同的交點,線段的中點為,為坐標原點,直線與直線分別交直線于點.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)求線段的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知動圓與圓:外切且與軸相切.
(1)求圓心的軌跡的方程;
(2)過作斜率為的直線交曲線于,兩點,
①若,求直線的方程;
②過,兩點分別作曲線的切線,,求證:,的交點恒在一條定直線上.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校高一年級學生全部參加了體育科目的達標測試,現(xiàn)從中隨機抽取40名學生的測試成績,整理數據并按分數段進行分組,假設同一組中的每個數據可用該組區(qū)間的中點值代替,則得到體育成績的折線圖(如下):
(Ⅰ)體育成績大于或等于70分的學生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級有1000名學生,試估計高一全年級中“體育良好”的學生人數;
(Ⅱ)為分析學生平時的體育活動情況,現(xiàn)從體育成績在和的樣本學生中隨機抽取2人,求在抽取的2名學生中,至少有1人體育成績在的概率;
(Ⅲ)假設甲、乙、丙三人的體育成績分別為且分別在三組中,其中當數據的方差最小時,寫出的值.(結論不要求證明)
(注: ,其中為數據的平均數)
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【題目】在四棱錐中,平面平面,底面為梯形,,,且,,.
(I)求證:;
(II)求二面角_____的余弦值;
從①,②,③這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并作答.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.
(III)若是棱的中點,求證:對于棱上任意一點,與都不平行.
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【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期,我市教育局提出“停課不停學”的口號,鼓勵學生線上學習.某校數學教師為了調查高三學生數學成績與線上學習時間之間的相關關系,對高三年級隨機選取45名學生進行跟蹤問卷,其中每周線上學習數學時間不少于5小時的有19人,余下的人中,在檢測考試中數學平均成績不足120分的占,統(tǒng)計成績后得到如下列聯(lián)表:
分數不少于120分 | 分數不足120分 | 合計 | |
線上學習時間不少于5小時 | 4 | 19 | |
線上學習時間不足5小時 | |||
合計 | 45 |
(1)請完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認為“高三學生的數學成績與學生線上學習時間有關”;
(2)①按照分層抽樣的方法,在上述樣本中從分數不少于120分和分數不足120分的兩組學生中抽取9名學生,設抽到不足120分且每周線上學習時間不足5小時的人數是,求的分布列(概率用組合數算式表示);
②若將頻率視為概率,從全校高三該次檢測數學成績不少于120分的學生中隨機抽取20人,求這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數的期望和方差.
(下面的臨界值表供參考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式其中)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設函數,為f(x)的導函數.
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和的零點均在集合中,求f(x)的極小值;
(3)若,且f(x)的極大值為M,求證:M≤.
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