Question

7名同學排隊照相．
(1)若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？
(2)若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？
(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？
(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不同的排法？

Answer 1

（1）5040  （2）1440  （3）720  （4）1440

解析解：(1)A₇³·A₄⁴＝A₇⁷＝5040(種)．
(2)第一步安排甲，有A₃¹種排法；第二步安排乙，有A₄¹種排法；第三步余下的5人排在剩下的5個位置上，有A₅⁵種排法．由分步計數(shù)原理得，符合要求的排法共有
A₃¹·A₄¹·A₅⁵＝1440(種)．
(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，與其余4個元素排成一排，即看成5個元素的全排列問題，有A₅⁵種排法；第二步，甲、乙、丙三人內部全排列，有A₃³種排法．由分步計數(shù)原理得，共有A₅⁵·A＝720(種)．
(4)第一步，4名男生全排列，有A₄⁴種排法；第二步，女生插空，即將3名女生插入4名男生之間的5個空位，這樣可保證女生不相鄰，有A₅³種插入方法．由分步計數(shù)原理得，符合條件的排法共有A₄⁴·A₅³＝1440(種)．