【題目】已知函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：若，則對于任意，不等式恒成立．

【答案】（1）詳見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）求定義域，求導，再分類討論得導數(shù)符號，從而得出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）原不等式即，變形為，只需證恒成立；設函數(shù)，，結(jié)合導數(shù)易得，，由，得，從而得出證明．

（1）解：函數(shù)的定義域為，，

①當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞減；

②當時，由得，，解得，由得，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

③當時，，則，則在內(nèi)單調(diào)遞減；

④當時，由得，，解得，或，由得，，則在，內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

綜上：當時，在內(nèi)單調(diào)遞減；在內(nèi)單調(diào)遞增；

當時，在內(nèi)單調(diào)遞減；

當時，在，內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

（2）證明：原不等式即，變形為，

∴只需證恒成立，

設函數(shù)，，

因為，易得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，

，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

因為，所以，即在內(nèi)恒成立，

∴若，則對于任意，不等式．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，是等邊三角形，側(cè)面底面，，，，點是棱上靠近點的一個三等分點．

（1）求證：∥平面；

（2）設點是線段（含端點）上的動點，若直線與底面所成的角的正弦值為，求線段的長．

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【題目】如圖已知，，、分別為、的中點，將沿折起，得到四棱錐，為的中點.

（1）證明：平面；

（2）當正視圖方向與向量的方向相同時，的正視圖為直角三角形，求此時二面角的余弦值.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，當時，的面積為，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經(jīng)點，與橢圓交于不同的兩點、，且，求直線的方程.

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【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點．

（1）求的取值范圍；

（2）設兩極值點分別為，，且，證明：．

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【題目】已知橢圓：的離心率為，設直線過橢圓的上頂點和右焦點，坐標原點到直線的距離為2.

（1）求橢圓的方程.

（2）過點且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點，在軸的正半軸上是否存在定點，使得直線，的斜率之積為非零的常數(shù)？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）討論在上的零點個數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x），

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）證明：a＝1時，f（x）+g（x）﹣（1）lnx＞e．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，平面平面，，，分別是棱，的中點.

（1）求證：平面；

（2）若，求與平面所成角的正弦值.

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