Question

【題目】如圖已知，，、分別為、的中點(diǎn)，將沿折起，得到四棱錐，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）當(dāng)正視圖方向與向量的方向相同時(shí)，的正視圖為直角三角形，求此時(shí)二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由平面圖可知，，，得到平面，得，再由已知可得.由直線與平面垂直的判定可得平面；

（2）由的正視圖三角形與全等，且為直角三角形，得，以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.

（1）由平面圖可知，，，

又，平面，平面，，

為的中點(diǎn)，，.

，平面；

（2）四棱錐的正視圖三角形與全等，且均為直角三角形，，

以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則、、、、、，

，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，取，得.

又為平面的一個(gè)法向量，

設(shè)二面角為，.

由圖形可知，二面角為鈍角，所以，二面角的余弦值為.