Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知R（x0 ， y0）是橢圓C： =1上的一點，從原點O向圓R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q．
（1）若R點在第一象限，且直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；
（2）若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1 ， k2 ， 求k1k2的值；
（3）試問OP2+OQ2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圓R的方程知圓R的半徑 ，

因為直線OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，

所以 ，即 ①

又點R在橢圓C上，所以 ②

聯立①②，解得 ，

所以，所求圓R的方程為

（2）解：因為直線OP：y=k1x和OQ：y=k2x都與圓R相切，

所以 ， ，

兩邊平方可得k1，k2為（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+（y02﹣8）=0的兩根，

可得 ，

因為點R（x0，y0）在橢圓C上，

所以 ，即 ，

所以

（3）解：方法一①當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

由（2）知2k1k2+1=0，

所以 ，故 ．

因為P（x1，y1），Q（x2，y2）在橢圓C上，

所以 ，

即 ，

所以 ，

整理得 ，

所以

所以 ．

方法（二）①當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯立 ，

解得 ，

所以 ，

同理，得 ．

由（2）2k1k2+1=0，得 ，

所以

= ，

②當直線OP，OQ落在坐標軸上時，顯然有OP2+OQ2=36．

綜上：OP2+OQ2=36．

【解析】（1）求得圓的半徑r，由兩直線垂直和相切的性質，可得|OR|=4，解方程可得圓心R的坐標，進而得到圓的方程；（2）設出直線OP：y=k1x和OQ：y=k2x，由直線和圓相切的條件：d=r，化簡整理，運用韋達定理，由R在橢圓上，即可得到k1k2的值；（3）討論①當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），運用點滿足橢圓方程，由兩點的距離公式，化簡整理，即可得到定值36；②當直線OP，OQ落在坐標軸上時，顯然有OP2+OQ2=36．