Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為菱形， ， ，且平面平面.

（1）求證： ；

（2）若， ，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .

【解析】【試題分析】(1)連接,根據(jù)菱形的幾何性質(zhì)有,由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面,所以, , ,所以平面,所以.(2) 設(shè)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)計(jì)算平面和平面的法向量來(lái)求二面角的余弦值.

【試題解析】

（1）證明：

連接，由四邊形為菱形可知，

∵平面平面，且交線為，

∴平面，∴，

又，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴；

（2）解：設(shè)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，

由（1）可知兩兩互相垂直，

則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，

所以，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

取，則為平面的一個(gè)法向量，

同理可得為平面的一個(gè)法向量.

則，

又二面角的平面角為鈍角，則其余弦值為.