Question

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分別是CD、SC的中點(diǎn)，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=

2

．
（I）求證：MN⊥平面ABN；
（II）求二面角A-BN-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量

MN

，

AB

，

AN

，計(jì)算

MN

•

AB

═0，

MN

•

AN

═0．從而證明∴

MN

⊥

AB

，

MN

⊥

AN

.
即可證明MN⊥平面ABN；
（II）求平面NBC的法向量，平面ABN的法向量，利用向量的數(shù)量積求得二面角A-BN-C的余弦值．

解答：（I）證明：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AZ為z軸的空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示．則依題意可知相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：A（0，0，0），B（

2

，0，0），
C（

2

，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1），
∴M(

2

2

，1，0)，N(

2

2

，

1

2

，

1

2

).（2分）
∴

MN

=(0，-

1

2

，

1

2

)，

AB

=(

2

，0，0)，

AN

=(

2

2

，

1

2

，

1

2

).（4分）

∴

MN

•

AB

═0，

MN

•

AN

═0．∴

MN

⊥

AB

，

MN

⊥

AN

.
∴MN⊥平面ABN．（7分）
（II）解：設(shè)平面NBC的法向量

n

=(a，b，c)，則

n

⊥

BC

，

n

⊥

SC

.
且又易知

BC

=(0，1，0)，

SC

=(

2

，1，-1)
∴

n • BC =0 n • SC =0

即

b=0 2 a+b-c=0.

∴

b=0 c= 2 a.

令a=1，則

n

=(1，0，

2

).（11分）
顯然，

MN

=(0，-

1

2

，

1

2

)就是平面ABN的法向量．
∴cos＜

n

，

MN

＞=

n • MN

| n |•| MN |

═

3

3

.
由圖形知，二面角A-BN-C是鈍角二面角（12分）
∴二面角A-BN-C的余弦值是-

3

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量法證明直線與平面的垂直，二面角的求法，考查學(xué)生計(jì)算能力，邏輯思維能力，是中檔題．