如圖,已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成,其中SD=DA=AB=BC=l,AS∥BC,AB⊥AD,且二面角S-CD-A的大小為120°.
(Ⅰ)求證:平面ASD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)設(shè)側(cè)棱SC和底面ABCD所成角為θ,求θ的正弦值.
分析:(1)根據(jù)題意,得到CD⊥SD,CD⊥AD.結(jié)合線面垂直的判定定理,得到CD⊥平面ADS,再由CD?平面ABCD,即可證出平面ASD⊥平面ABCD.
(2)由(1)得二面角S-CD-A的平面角為∠ADS,即∠ADS=120°.過點(diǎn)S作SH⊥AD,交AD的延長線于H點(diǎn).可得SH⊥平面ABC.可得CH為側(cè)棱SC在底面ABCD內(nèi)的射影,因此∠SCH為側(cè)棱SC和底面ABC所成的角θ.然后分別在在Rt△SHD、Rt△SDC和Rt△SHC中利用三角函數(shù)知識,結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出sinθ=
6
4
,即得側(cè)棱SC和底面ABCD所成角θ的正弦值.
解答:解:(Ⅰ)∵SD=DA=AB=BC=l,AS∥BC,AB⊥AD,
∴CD⊥SD,CD⊥AD.
可得二面角S-CD-A的平面角為∠ADS,∠ADS=120°.
又∵AD∩SD,
∴CD⊥平面ADS.
又∵CD?平面ABCD,
∴平面ASD⊥平面ABCD.…(6分)
(Ⅱ)過點(diǎn)S作SH⊥AD,交AD的延長線于H點(diǎn).
∵平面ASD⊥平面ABCD,平面ASD∩平面ABCD=AD,
∴SH⊥平面ABC.可得CH為側(cè)棱SC在底面ABCD內(nèi)的射影.
因此,∠SCH為側(cè)棱SC和底面ABC所成的角θ.…(10分)
在Rt△SHD中,∠SDH=180°-∠ADS=60°,SD=1,可得SH=SDsin60°=
3
2

在Rt△SDC中,∠SDC=90°,SD=AB=DC=1,可得SC=
2

在Rt△SHC中,sinθ=
SH
SC
=
3
2
2
=
6
4

∴側(cè)棱SC和底面ABCD所成角θ的正弦值的
6
4
.…(13分)
點(diǎn)評:本題給出平面翻折問題,求證面面垂直并求直線與平面所成角的正弦值,著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和直線與平面所成角的定義及求法等知識,屬于中檔題.
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如圖,已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形,SA⊥平面ABCD,SA=2,E是側(cè)棱SC上的一點(diǎn).
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(Ⅰ)求證:平面SOB⊥底面ABCD;
(Ⅱ)設(shè)Q是棱SA上的一點(diǎn),若
AQ
=
3
4
AS
,求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大小.

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(2010•江西模擬)(如圖)已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形,將面SAB,SAD,ABCD 展開成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC.
(1)求證:在四棱錐S-ABCD中AB⊥SD.
(2)若AC長等于6,求異面直線AB與SC之間的距離.

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