【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,且右焦點到右準線l的距離為1.過x軸上一點M(m,0)(m為常數(shù),且m∈(0,2))的直線與橢圓C交于A,B兩點,與l交于點P,D是弦AB的中點,直線OD與l交于點Q.
(1) 求橢圓C的標準方程.
(2) 試判斷以PQ為直徑的圓是否經(jīng)過定點.若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.
【答案】(1)+y2=1;(2)是,定點
【解析】
(1)由已知列出方程組解得,然后求得,得橢圓標準方程;
(2)首先確定直線AB斜率存在且不為0,然后設(shè)直線方程為y=k(x-m),求出P,Q點,寫出圓的方程(直徑式),然后,即令斜率k的系數(shù)為零,常數(shù)項也為零,得出關(guān)于x,y的方程可得定點.審題注意題中m是常數(shù),而非變量.
(1)由題意,得,解得所以a2=2,b2=1,
所以橢圓C的標準方程為+y2=1.
(2) 由題意,當直線AB的斜率不存在或為零時顯然不符合題意,所以可設(shè)直線AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=k(x-m).
又準線方程為x=2,
所以點P的坐標為P(2,k(2-m)).
由得,x2+2k2(x-m)2=2,即(1+2k2)x2-4k2mx+2k2m2-2=0,
所以xA+xB=,則xD=·=,yD=k=-,
所以kOD=-,
從而直線OD的方程為y=-x(也可用點差法求解),
所以點Q的坐標為Q.
所以以P,Q為直徑的圓的方程為(x-2)2+(y-k(2-m))=0,
即x2-4x+2+m+y2-[ k(2-m)-]y=0.
因為該式對k≠0恒成立,令y=0,得x=2±,
所以,以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了適應(yīng)高考改革,某中學(xué)推行“創(chuàng)新課堂”教學(xué).高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”的教學(xué)方式授課,高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂”的教學(xué)方式授課,為了比較教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個班中各隨機抽取名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計分析,結(jié)果如下表:(記成績不低于分者為“成績優(yōu)秀”)
分數(shù) | |||||||
甲班頻數(shù) | |||||||
乙班頻數(shù) |
(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有以上的把握認為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”?
甲班 | 乙班 | 總計 | |
成績優(yōu)秀 | |||
成績不優(yōu)秀 | |||
總計 |
(2)在上述樣本中,學(xué)校從成績?yōu)?/span>的學(xué)生中隨機抽取人進行學(xué)習(xí)交流,求這人來自同一個班級的概率.
參考公式:,其中.
臨界值表
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了變廢為寶,節(jié)約資源,新上了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目.經(jīng)測算該項目月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為:,且每處理一噸生活垃圾,可得到能利用的生物柴油價值為元,若該項目不獲利,政府將給予補貼.
(1)當時,判斷該項目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損?
(2)該項目每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若對任意的實數(shù)都有成立,求實數(shù)的值;
(2)若在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)當時,求函數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù).
(1)求k的值;
(2)設(shè)g(x)=log4,若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若干個同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽,其中任何個同學(xué)都有唯一的公共朋友(當甲是乙的朋友時,乙也是甲的朋友).問有多少同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角三棱柱中,、分別為、的中點,,.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面平面;
(3)若直線和平面所成角的正弦值等于,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為菱形且∠BAA1=60°,D,M分別為CC1和A1B的中點,A1D⊥CC1,AA1=A1D=2,BC=1.
(1)證明:直線MD∥平面ABC;
(2)求D點到平面ABC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論正確的有( )
A.公共汽年上有10位乘客,沿途5個車站,乘客下車的可能方式有種.
B.兩位男生和兩位女生隨機排成一列,則兩位女生不相鄰的概率是;
C.若隨機変量服從二項分布,則;
D.已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個,剩下的六個數(shù)據(jù)分別是3,3,5,3,6,11,若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù),眾數(shù)依次成等差數(shù)列,則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為12.
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