Question

【題目】在直角梯形PBCD中， ，A為PD的中點，如圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，且 ，如圖．
（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

Answer 1

【答案】解法一：（Ⅰ）證明：在題平面圖形中，由題意可知，BA⊥PD，ABCD為正方形，所以在翻折后的圖中，SA⊥AB，SA=2，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
因為SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B
所以BC⊥平面SAB，
又SA平面SAB，
所以BC⊥SA，
又SA⊥AB，BC∩AB=B
所以SA⊥平面ABCD，
（Ⅱ）在AD上取一點O，使 ，連接EO
因為 ，所以EO∥SA
因為SA⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD，
過O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，
則AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH．
所以∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角， ．
在Rt△AHO中，
∴ ，
即二面角E﹣AC﹣D的正切值為
解法二：（Ⅰ）同方法一
（Ⅱ）解：如圖，以A為原點建立直角坐標(biāo)系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0， ）
∴平面ACD的法向為
設(shè)平面EAC的法向量為 =（x，y，z），
由 ，
所以 ，可取
所以 =（2，﹣2，1）．
所以
所以
即二面角E﹣AC﹣D的正切值為


【解析】（法一）（Ⅰ）由題意可知，翻折后的圖中SA⊥AB①，易證BC⊥SA②，由①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）（三垂線法）由 考慮在AD上取一點O，使得 ，從而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，過O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可（法二：空間向量法）（Ⅰ）同法一（Ⅱ）以A為原點建立直角坐標(biāo)系，易知平面ACD的法向為 ，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可