Question

【題目】已知平面上一個(gè)圓可以將平面分成兩個(gè)部分，兩個(gè)圓最多可以將平面分成4個(gè)部分，設(shè)平面上個(gè)圓最多可以將平面分成個(gè)部分．

求，的值；

猜想的表達(dá)式并證明；

證明：．

Answer 1

【答案】（1）8，14；（2），證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

由題意可知：，;猜想并用數(shù)學(xué)歸納法證明可得解;

證明：討論當(dāng)或2或3時(shí)，，且時(shí)，用數(shù)列單調(diào)性的證明方法定義法證明即可.

由已知有：，，

，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；

假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即平面上k個(gè)圓最多可以將平面分成個(gè)部分，

那么當(dāng)時(shí)，第個(gè)圓與前k個(gè)圓最多有2k個(gè)交點(diǎn)，即此第個(gè)圓最多被這2k個(gè)交點(diǎn)分成2k條圓弧段，由于每增加一個(gè)圓弧段，可將原來的區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域，因此第個(gè)圓使平面增加了2k個(gè)區(qū)域，

所以，

綜合得：即平面上n個(gè)圓最多可以將平面分成個(gè)部分，

即命題得證

證明：當(dāng)或2或3時(shí)，，

即，

且時(shí)，

設(shè)，

則，

設(shè)，

因?yàn)?/span>，所以，所以

所以時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以，

所以，

綜合得：．

故不等式得證．