已知函數(shù)g(x)=-(
12
)
x2
的值域?yàn)锳,定義在A上的函數(shù)f(x)=x-2-x2(x∈A).
(1)求集合A,并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明;
(3)解不等式f(3x+1)<f(5x+1).
分析:(1)由x2>0,0<(
1
2
)
x2
<1,可求得函數(shù)g(x)=-(
1
2
)
x2
的值域A,利用奇偶函數(shù)的定義即可判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)設(shè)-1<x1<x2<0,作差后化積f(x1)-f(x2)=(x22-x12)(1+
1
x12x22
),判斷積的符號(hào)即可;
(3)利用(2)中所證的單調(diào)性與其定義域?yàn)锳可列關(guān)于x的不等式組,解之即可.
解答:解:(1)∵x2>0,
∴0<(
1
2
)
x2
<1,-1<-(
1
2
)
x2
<0,
即A={x|-1<x<0}.
∵函數(shù)f(x)=x-2-x2(x∈A),而A={x|-1<x<0},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴f(x)是非奇非偶函數(shù);
(2)證明:設(shè)-1<x1<x2<0,
f(x1)-f(x2)=
1
x12
-x12-(
1
x22
-x22)=
x22-x12
x12x22
+(x22-x12
=(x22-x12)(1+
1
x12x22
).
∵-1<x1<x2<0,
x12x22,
1
x12x22
>0,
∴(x22-x12)(1+
1
x12x22
)<0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在(-1,0)上是增函數(shù).
(3)∵f(3x+1)<f(5x+1),
-1<3x+1<0
-1<5x+1<0
3x+1<5x+1
解得:x∈∅.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合,著重考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義及其綜合應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=-
a2
3
x3+
a
2
x2+cx(a≠0)
,
(I)當(dāng)a=1時(shí),若函數(shù)g(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)c的取值范圍;
(II)當(dāng)a≥
1
2
時(shí),(1)求證:對(duì)任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要條件是c≤
3
4
;
(2)若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程g′(x)=0有兩個(gè)實(shí)根α,β,求證:|α|≤1,且|β|≤1的充要條件是-
1
4
≤c≤a2-a

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
m
=(coswx,sinwx),
n
=(coswx,
3
coswx)
,設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n
+1
且f(x)的最小正周期為2π.
(I)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和最值;
(II)已知函數(shù)g(x)=
tanx-tan3x
1+2tan2x+tan4x
,求證:f(x)>g(x).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=
x2-2
(x≥2)
的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=
x
x2-2
(x≥2)
,記函數(shù)f(x)=x-kg(x)(x≥2,k為常數(shù)).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上為減函數(shù),求k的取值范圍;
(2)求函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=1-2x , f[g(x)]=
1-x2
x2
 (x≠0)
,則f(0)等于( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=
x+2,x>-
1
2
-x-
1
2x
,-
2
2
<x≤-
1
2
2
,x≤-
2
2
,若g(a)≥g(
1
a
)
,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
[-
2
,0)∪[1,+∞)
[-
2
,0)∪[1,+∞)

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