Question

已知函數(shù)g(x)=-

a2

3

x3+

a

2

x2+cx(a≠0)，
（I）當a=1時，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求實數(shù)c的取值范圍；
（II）當a≥

1

2

時，（1）求證：對任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要條件是c≤

3

4

；
（2）若關于x的實系數(shù)方程g′（x）=0有兩個實根α，β，求證：|α|≤1，且|β|≤1的充要條件是-

1

4

≤c≤a2-a．

Answer 1

分析：（I）要使g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，只要它的最小值f（-1）≥0，即-1-1+c≥0，解得c≥2．
（II）設g'（x）=f（x），對任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要條件是它的最大值c+

1

4

≤1，求得c的范圍．
（2）g′（x）=0有兩個實根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要條件是 

f( 1 2a )  ≥  0 f(1) ≤ 0

，等價于
 

c ≥  - 1 4 c  ≤ a2- a

，從而證得結(jié)論．

解答：解：（I）當a=1時，g(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+cx，g'（x）=-x²+x+c，
∵g（x）在（-1，1）上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，
∴-x²+x+c≥0在（-1，1）上恒成立，∴-1-1+c≥0，∴c≥2．
（II）設g'（x）=f（x），則f(x)=-a2x2+ax+c=-a2(x-

1

2a

)2+c+

1

4

，此拋物線關于x=

1

2a

對稱，
 由a≥

1

2

可得，0＜

1

2a

≤1．對任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要條件是它的最大值c+

1

4

≤1，
即 c≤

3

4

．
（2）關于x的實系數(shù)方程g′（x）=0 即-a²x²+ax+c=0，即  -a2(x-

1

2a

)2+c+

1

4

=0，
∴g′（x）=0有兩個實根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要條件是 

f( 1 2a )  ≥  0 f(1) ≤ 0

，即

c+ 1 4  ≥  0 -a2+ a + c ≤ 0

，等價于 

c ≥  - 1 4 c  ≤ a2- a

，等價于   -

1

4

≤ c ≤a2-a．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，充要條件的定義，判斷g′（x）=0兩個
實根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要條件是 

f( 1 2a )  ≥  0 f(1) ≤ 0

，是解題的難點．