Question

【題目】如圖所示，在三棱錐A－BOC中，OA⊥底面BOC，∠OAB＝∠OAC＝30°，AB＝AC＝4，BC＝，動點D在線段AB上.

（1）求證：平面COD⊥平面AOB；

（2）當OD⊥AB時，求三棱錐C－OBD的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）欲證平面COD⊥平面AOB，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面COD內(nèi)一直線與平面AOB垂直，根據(jù)勾股定理可知OC⊥OB，根據(jù)線面垂直的判定定理可知OC⊥平面AOB，而OC平面COD，滿足定理所需條件；（2）OD⊥AB，OD=，此時，BD=1．根據(jù)三棱錐的體積公式求出所求即可

試題解析：（1）∵AO⊥底面BOC，

∴AO⊥OC，

AO⊥OB. ……3

∵∠OAB＝∠OAC＝30°，AB＝AC＝4，

∴OC＝OB＝2.

又BC＝2，

∴OC⊥OB， ……6

∴OC⊥平面AOB.

∵OC平面COD，

∴平面COD⊥平面AOB. ……9

（2）∵OD⊥AB，∴BD＝1，OD＝.

∴VC－OBD ＝ ×××1×2＝ ……12