Question

某市為“市中學(xué)生知識(shí)競賽”進(jìn)行選拔性測試，且規(guī)定：成績大于或等于90分的有參賽資格，90分以下（不包括90分）的被淘汰.若有500人參加測試，學(xué)生成績的頻率分布直方圖如圖.

(1)求獲得參賽資格的人數(shù)；
(2)根據(jù)頻率直方圖，估算這500名學(xué)生測試的平均成績；
(3)若知識(shí)競賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止，答對(duì)3題者方可參加復(fù)賽.已知參賽者甲答對(duì)每一個(gè)問題的概率都相同，并且相互之間沒有影響.已知他連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為，求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

(1) 125 ,(2) 78.48 ,(3)

	3	4	5

＝

解析試題分析：(1)利用頻率分布直方圖中小長方體面積表示對(duì)應(yīng)頻率的含義，求出獲得參賽資格的頻率(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20 ，再利用頻數(shù)等于總數(shù)乘以頻率，得獲得參賽資格的人數(shù)為500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人，(2)利用組中值進(jìn)行估算平均值，即＝(×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.0043＋×0.0032)×20＝78.48分. (3)先求出參賽者甲答對(duì)每一個(gè)問題的概率，由得＝.學(xué)生甲答題個(gè)數(shù)的可能值為3,4,5,甲答題數(shù)為3時(shí)，要么全答對(duì)、要么全答錯(cuò)。甲答題數(shù)為5時(shí)，前4題必然是兩對(duì)兩錯(cuò)，最后一題不論對(duì)錯(cuò)都結(jié)束。甲答題數(shù)為4時(shí)，前3題為一對(duì)兩錯(cuò)時(shí)，第4題必答錯(cuò)；前3題為一錯(cuò)兩對(duì)時(shí)，第4題必答對(duì).最后利用數(shù)學(xué)期望公式求期望值.
試題解析：(1)由頻率分布直方圖得,獲得參賽資格的人數(shù)為500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人. .                         (2分)
(2)設(shè)500名學(xué)生的平均成績?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c5/2/1pobg3.png" style="vertical-align:middle;" />,則＝(×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.0043＋×0.0032)×20＝78.48分.         (6分)
(3)設(shè)學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率為,則,∴＝
學(xué)生甲答題個(gè)數(shù)的可能值為3,4,5,
則=＝
＝所以的分布列為

	3	4	5

＝×3＋×4＋×5＝.          (12分)
考點(diǎn)：頻率分布直方圖, 分布列及數(shù)學(xué)期望