Question

平面上點P與點F（0，1）的距離比它到直線y+2=0的距離小1
（1）求出點P的軌跡方程；
（2）過點F作點P的軌跡動弦CD，過C、D兩點分別作點P的軌跡的切線，設其交點為M，求點M的軌跡方程，并求出的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件，點P與點F距離等于它到直線y=-1的距離，故其軌跡為以F（0，1）為焦點的拋物線，從而可求點P的軌跡方程
（2）設，，由導數的幾何意義可先求兩切線的斜率，進而可得過拋物線上C、D兩點的切線方程，切線的交點M的坐標為設CD的直線方程為y=nx+1，代入x²=4y，根據方程的根與系數的關系可求，M的軌跡方程；利用向量的數量積的坐標表示及方程的根與系數的關系代入可求
解答：解：（1）由已知條件，點P與點F距離等于它到直線y=-1的距離，故其軌跡為以F（0，1）為焦點的拋物線．
∵
∴P=2故點P的軌跡方程為x²=4y（6分）
（2）設，
過拋物線上C、D兩點的切線方程分別是，
∴兩條切線的交點M的坐標為
設CD的直線方程為y=nx+1，代入x²=4y得x²-4nx-4=0
∴x₃x₄=-4故M的坐標為
故點M的軌跡為y=-1（10分）
∵
∴
==
而
=
故（14分）
點評：本題目主要考查了拋物線定義的靈活應用求解拋物線的方程，解題的關鍵是根據題意進行轉化，還考查了利用導數的幾何意義求解曲線的切線方程．