Question

【題目】已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與拋物線相交于兩點.設直線是拋物線的切線，且直線為上一點，且的最小值為.

（1）求拋物線的方程；

（2）設是拋物線上，分別位于軸兩側的兩個動點，為坐標原點，且.求證：直線必過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析，.

【解析】

（1）依題意，設出M、N坐標及直線的方程為，代入拋物線方程，可得根與系數關系，設直線和拋物線相切于點，由題意和切線的幾何意義知，曲線在處的切線斜率為1，因此得，可得切線的方程，設出P點坐標，代入化簡并求得最小值為可解出p，即可求拋物線C的方程，并求其準線方程；

（2）直線的斜率一定存在，設的方程為，代入y2=4x，利用韋達定理結合，求出b，即可證明直線l必過一定點，并求出該定點．

(1)依題意，直線的方程為.

設,

將直線的方程代入中，

得，

因此.

設直線和拋物線相切于點，

由題意和切線的幾何意義知，曲線在處的切線斜率即導數為1，

因此得，

切點的坐標為，

因此切線的方程為.

設，

于是

將，代入其中，

可得.

當時，取得最小值，

由，

可解得正數值為2，

因此所求的拋物線方程為.

（2）顯然，直線的斜率一定存在，

設的方程為，，

則，

故，

也即，①

將代入拋物線中，

得，

故.

將它們代入到①中，得，

解得，

因此直線恒過點.