Question

已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2
（1）求實數(shù)b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當a=1時，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[

1

e

，e]））有公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（e）=-ae+b+aelne=2，得b的值；
（2）先求導數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間；
（3）要使直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[

1

e

，e]））有公共點，只需t在f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)值域內(nèi)即可，再利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可求解．

解答：解：（1）由f（e）=-ae+b+aelne=2，得b=2．…（3分）
（2）由（1）知，f（x）=-ax+b+axlnx其定義域為（0，+∞）．…（4分）
從而f′（x）=alnx，因為a≠0，所以                …（5分）
①當a＞0時，由f′（x）=alnx＞0得x＞1．
由f′（x）=alnx＜0得0＜x＜1．
②當a＜0時，由f′（x）=alnx＞0得0＜x＜1由f′（x）=alnx＜0得x＞1．…（7分）
所以，當a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）．
當a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．…（10分）
（3）當a=1時，f（x）=-x+2+xlnx．則f′（x）=lnx．
令f′（x）=lnx=0，則x=1．
當x在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	1 e	（ 1 e ，1）	1	（1，e）	e
f′（x）		-	0	+
f（x）	2- 2 e	單調(diào)遞減	極小值1	單調(diào)遞增	2

因為2-

2

e

＜2，所以f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)值域為[1，2]．        …（13分）
∵直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[

1

e

，e]）有公共點．
∴t的取值范圍是[1，2]．…（14分）

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在某點取得極值的條件．利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．