Question

定義在R上的f（x）滿(mǎn)足f（x）=f（x+2），當(dāng)x∈[3，5]時(shí)，f（x）=2-|x-4|，α，β是鈍角三角形的兩銳角，則下列正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①f（sinβ）＜f（cosα）；
②f（sin（-α）＜f（cosβ）；
③f（cosα）＞f（sin（-β））；
④f（sinα）＞f（cosβ）．

• A、4個(gè)
• B、3個(gè)
• C、2個(gè)
• D、1個(gè)

Answer 1

分析：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)以及有關(guān)三角的綜合類(lèi)問(wèn)題．在解答時(shí)，首先要結(jié)合分類(lèi)討論研究好當(dāng)x∈[3，5]時(shí)，f（x）的解析式，畫(huà)出圖象后再結(jié)合周期性將整個(gè)實(shí)屬集上的圖象畫(huà)出，結(jié)合圖象即可讀出奇偶性又可知道函數(shù)在（0，1）上的單調(diào)性，進(jìn)而問(wèn)題即可獲得解答．

解答：解：由題意函數(shù)f（x）的解析式為：
f(x)=

-x+6，4≤x≤5 x-2，3≤x＜4

，
又因?yàn)樵赗上的f（x）滿(mǎn)足f（x）=f（x+2），
所以函數(shù)是以2為周期的函數(shù)．
故函數(shù)在實(shí)數(shù)集上的圖象如圖，
由圖象可知：函數(shù)為偶函數(shù)且在（0，1）上為減函數(shù)．
所以：∵α+β＜

π

2

，
∴α＜

π

2

-β或β＜

π

2

-α
∴sinα＜sin(

π

2

-β) =cosβ，同理sinβ＜cosα
所以：f（sinα）＞f（cosβ）、f（sinβ）＞f（cosα）
又知函數(shù)為偶函數(shù)，∴f（sin（-α））f（-sinα）=f（sinα），f（sin（-β））=f（sinβ）
所以①②③不正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)以及有關(guān)三角的綜合類(lèi)問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想以及函數(shù)單調(diào)性知識(shí)和周期性知識(shí)的靈活應(yīng)用．值得同學(xué)們體會(huì)反思．