【題目】設(shè)為正整數(shù),若兩個(gè)項(xiàng)數(shù)都不小于的數(shù)列,滿足:存在正數(shù),當(dāng)且時(shí),都有,則稱數(shù)列,是“接近的”.已知無(wú)窮等比數(shù)列滿足,無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且,.
(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式;
(2)求證:對(duì)任意正整數(shù),數(shù)列,是“接近的”;
(3)給定正整數(shù),數(shù)列,(其中)是“接近的”,求的最小值,并求出此時(shí)的(均用表示).(參考數(shù)據(jù):)
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)的最小值,此時(shí)
【解析】
(1)設(shè)等比數(shù)列公比為,由,可求得首項(xiàng)和公比,進(jìn)而求得通項(xiàng);
(2)只需證明成立,即可得證;
(3)由題設(shè)可求得,根據(jù)定義進(jìn)而得到對(duì)都成立,再構(gòu)造函數(shù)求解即可.
(1)設(shè)等比數(shù)列公比為,由得,解得,故.
(2).
對(duì)任意正整數(shù),當(dāng),且時(shí),有,
則,即成立,
故對(duì)任意正整數(shù),數(shù)列,是“接近的”.
(3)由,得到,且,
從而,于是.
當(dāng)時(shí),,,解得,
當(dāng)時(shí),,又,
整理得,所以,因此數(shù)列為等差數(shù)列.
又因?yàn)?/span>,,則數(shù)列的公差為1,故.
根據(jù)條件,對(duì)于給定正整數(shù),當(dāng)且時(shí),都有
成立,
即①對(duì)都成立.
考察函數(shù),,令,
則,當(dāng)時(shí),,所以在上是增函數(shù).
又因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),,即,
所以在上是增函數(shù).
注意到,,,,
故當(dāng)時(shí),的最大值為,
的最小值為.
欲使?jié)M足①的實(shí)數(shù)存在,必有,即,
因此的最小值,此時(shí).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是某商場(chǎng)2018年洗衣機(jī)、電視機(jī)和電冰箱三種電器各季度銷量的百分比堆積圖(例如:第3季度內(nèi),洗衣機(jī)銷量約占,電視機(jī)銷量約占,電冰箱銷量約占).根據(jù)該圖,以下結(jié)論中一定正確的是( )
A. 電視機(jī)銷量最大的是第4季度
B. 電冰箱銷量最小的是第4季度
C. 電視機(jī)的全年銷量最大
D. 電冰箱的全年銷量最大
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形為矩形,,,為線段上的動(dòng)點(diǎn).
(1)若為線段的中點(diǎn),求證:平面;
(2)若三棱錐的體積記為,四棱錐的體積記為,當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn).若曲線上存在,兩點(diǎn),使為正三角形,則稱為型曲線.給定下列三條曲線:
①;
②;
③.
其中型曲線的個(gè)數(shù)是
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足, ,其中,則稱為的“衍生數(shù)列”.
(Ⅰ)若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是,求;
(Ⅱ)若為偶數(shù),且的“衍生數(shù)列”是,證明:的“衍生數(shù)列”是;
(Ⅲ)若為奇數(shù),且的“衍生數(shù)列”是,的“衍生數(shù)列”是,….依次將數(shù)列,,,…的第項(xiàng)取出,構(gòu)成數(shù)列 .證明:是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足;數(shù)列滿足;數(shù)列為公比大于1的等比數(shù)列,且,為方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根.
(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)將數(shù)列中的第項(xiàng),第項(xiàng),第項(xiàng),……,第項(xiàng),……刪去后剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列,求數(shù)列的前2013項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),令,其導(dǎo)函數(shù)為,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),判斷是否為的零點(diǎn)?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線,點(diǎn)都在雙曲線上,直線與軸相交于點(diǎn),設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為.
(1)求雙曲線的方程,并求出點(diǎn)的坐標(biāo)(用表示);
(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線與軸相交于點(diǎn).問(wèn):在軸上是否存在定點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),且,試求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)當(dāng)時(shí),解不等式;
(2)若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)的值;
(3)設(shè),若對(duì)任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò),求的取值范圍.
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