已知函數(shù)f(x)=+lnx(a∈R,x∈[,2]),

(1)當(dāng)a∈[-2,]時(shí),求f(x)的最大值;

(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]·x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)連線的斜率,是否存在實(shí)數(shù)a,使得k<1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

解:(1)f′(x)=-1+=(x2-x+a),

∵1-4a≥0,令f′(x)=0,

解得x1=,x2=,

∵-2≤a≤,∴0≤1-4a≤9.

∴-1≤x1,≤x2≤2.

又x∈[,2],∴≤x≤x2時(shí),f′(x)≥0;x2≤x≤2時(shí),f′(x)≤0.

∴f(x)在x=x2處有最大值,其值為+ln.

(2)g(x)=ax-x3,

設(shè)(x1,y1),(x2,y2)為g(x)圖象上不同的兩點(diǎn),

則k==a-(x22+x1x2+x12),8分

由k<1得a-(x22+x1x2+x12)<1,

即a-1<x22+x1x2+x12.

不妨設(shè)≤x1<x2≤2,則3x12<x22+x1x2+x12<3x22,

∴a-1≤,即a≤.

故存在a≤使題設(shè)條件得以滿足.

練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
3x+5,(x≤0)
x+5,(0<x≤1)
-2x+8,(x>1)
,
求(1)f(
1
π
),f[f(-1)]
的值;
(2)若f(a)>2,則a的取值范圍.

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精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x>7.
是定義域上的遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(
1
3
,1)
B、(
1
3
,
1
2
]
C、(
1
3
,
6
11
]
D、[
6
11
,1

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已知函數(shù)f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù).則實(shí)數(shù)a的值為
 

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x-1x+a
+ln(x+1)
,其中實(shí)數(shù)a≠1.
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)若f(x)在x=1處取得極值,試討論f(x)的單調(diào)性.

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