已知函數(shù)f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)，其中實(shí)數(shù)a≠1．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）在x=1處取得極值，試討論f（x）的單調(diào)性．
分析：首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及在點(diǎn)f（0）處的值，然后求出在該點(diǎn)的切線方程，第二問根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求出a的值，然后根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性．
解答：解：（1）f′(x)=
x+a-(x-1)
(x+a)2
+
1
x+1
=
a+1
(x+a)2
+
1
x+1
，
當(dāng)a=2時(shí)，f′（0）=
7
4
，而f（0）=-
1
2
，
所以曲線在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為：y-（-
1
2
）=
7
4
（x-0），即7x-4y-2=0．
（2）因?yàn)閍≠1，由（1）可知f′(1)=
a+1
(1+a)2
+
1
1+1
=
1
a+1
+
1
2
；
又因?yàn)閒（x）在x=1處取得極值，
所以
1
a+1
+
1
2
=0，解得a=-3；
此時(shí)f(x)=
x-1
x-3
+ln(x+1)，定義域（-1，3）∪（3，+∞）；
f′(x)=
-2
(x-3)2
+
1
x+1
=
(x-1)(x-7)
(x-3)2(x+1)
，
由f′（x）=0得x1=1，x2=7，當(dāng)-1＜x＜1或x＞7時(shí)f′（x）＞0；
當(dāng)1＜x＜7且x≠3時(shí)f′（x）＜0；
由上討論可知f（x）在（-1，1]，[7，+∞）時(shí)是增函數(shù)，在[1，3），（3，7]上是減函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值和單調(diào)性的關(guān)系．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請(qǐng)求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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