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設x1，x2，x3，…，xn都是正實數，且x1＋x2＋x3＋…＋xn＝S．

求證：．

答案：
解析：

　　證法一：根據柯西不等式，得

　　左邊＝

　　＝[(S－x1)＋(S－x2)＋…＋(S－xn)]×

　　≥

　�。�(x1＋x2＋…＋xn)2＝×S2＝＝右邊．

　　∴原不等式成立．

　　證法二：∵a∈R+，則a＋≥2．

　　∴a≥2－．

　　∴．

　　n個式子相加，有

　　＝．∴原不等式成立．

　　證法三：(S－xi)≥．

　　∴，

　　∴．

　　∴原不等式成立．

　　思路分析：對比例2及本題要證明的不等式，知需要構造出S－x1＋S－x2＋…＋S－xn．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）設x1，x2，x3均為正實數，由（1）x1•
1
x1
≥1和（2）（x1+x2）（
1
x1
+
1
x2
≥4）成立，可以推測（x1+x2+x3）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
≥
 
；
（2）觀察（1）中不等式的規(guī)律，由此歸納出一般性結論是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=1，函數f（x）的圖象能否總在直線y=b的下方？說明理由；
（Ⅱ）若函數f（x）在（0，2）上是增函數，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設x1，x2，x3為方程f（x）=0的三個根，且x1∈（-1，0），x2∈（0，1），x3∈（-∞，-1）∪（1，+∞），求證：a＞1或a＜-1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
x
1+x2
，x∈(0，1)．
（1）設x1，x2∈（0，1），證明：（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]≥0；
（2）設x∈（0，1），證明：
3x2-x
1+x2
≥
9
10
(x-
1
3
)；
（3）設x1，x2，x3都是正數，且x1+x2+x3=1，求u=
3
x
2
1
-x1
1+
x
2
1
+
3
x
2
2
-x2
1+
x
2
2
+
3
x
2
3
-x3
1+
x
2
3
的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a是給定的實常數．設函數f（x）=（x-a）2（x+b）ex，b∈R，x=a是f（x）的一個極大值點．
（1）求b的取值范圍．
（2）設x1，x2，x3是f（x）的3個極值點，問是否存在實數b，可找到x4∈R，使得x1，x2，x3，x4的某種排xxi1，xi2，xi3，xi4（其中{i1，i2，i3，i4}={1，2，3，4}）依次成等差數列？若存在，求所有的b及相應的x4；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設x1，x2，x3，…，x10的平均數為
.
x
，方差為s2，標準差為s，若s=0，則有（　　）
A、
.
x
=0
B、s2=0且
.
x
=0
C、x1=x2=…=x10
D、x1=x2=…=x10=0

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