Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=1，函數(shù)f（x）的圖象能否總在直線y=b的下方？說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)x₁，x₂，x₃為方程f（x）=0的三個(gè)根，且x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），x₃∈（-∞，-1）∪（1，+∞），求證：a＞1或a＜-1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，然后取特殊值x=-1，求得對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于b，說明函數(shù)f（x）的圖象不能總在直線y=b的下方；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后對a進(jìn)行分類討論，找出能使函數(shù)f（x）在（0，2）上是增函數(shù)a的取值范圍．或是求出導(dǎo)函數(shù)后，利用分離變量法把a(bǔ)分離出來，把導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0轉(zhuǎn)化為a恒大于等于一個(gè)函數(shù)的最大值問題；
（Ⅲ）因?yàn)榉匠蘤（x）=-x³+ax²+b=0最多只有3個(gè)根，由方程f（x）=0在（-1，0）和（0，1）內(nèi)各有一個(gè)根列式f（-1）•f（0）=b（1+a+b）＜0與f（0）•f（1）=b（-1+a+b）＜0，然后分b＞0，b＜0和b=0討論即可得到a的取值范圍．

解答：（Ⅰ）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x³+x²+b，
因?yàn)閒（-1）=b+2＞b，
所以，函數(shù)f（x）的圖象不能總在直線y=b的下方．
（Ⅱ）解：法一、
由f（x）=-x³+ax²+b，得f^′（x）=-3x²+2ax，
令f^′（x）=-3x²+2ax=0，解得x=0或x=

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3

a，
①當(dāng)a＜0時(shí)，由f^′（x）＞0，解得

2

3

a＜x＜0，
所以f（x）在(

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3

a，0)上是增函數(shù)，與題意不符，舍去；
②當(dāng)a=0時(shí)，由f^′（x）=-3x²≤0，
所以f（x）在R上是減函數(shù)，與題意不符，舍去；
③當(dāng)a＞0時(shí)，由f^′（x）＞0，解得0＜x＜

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3

a，
所以f（x）在(0，

2

3

a)上是增函數(shù)，
又f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，所以

2

3

a≥2，解得a≥3，
綜上，a的取值范圍為[3，+∞）．
法二、
由f（x）=-x³+ax²+b，得f^′（x）=-3x²+2ax，
要使函數(shù)f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，
則需f^′（x）=-3x²+2ax≥0對任意x∈（0，2）恒成立，
即2ax≥3x²對任意x∈（0，2）恒成立，
也就是a≥

3

2

x對任意x∈（0，2）恒成立，
因?yàn)閥=

3

2

x在x∈（0，2）上為增函數(shù)，所以a≥

3

2

×2=3．
所以，a的取值范圍為[3，+∞）．
（Ⅲ）證明：因?yàn)榉匠蘤（x）=-x³+ax²+b=0最多只有3個(gè)根，
由題意，方程在區(qū)間（-1，0）內(nèi)僅有一根，
所以f（-1）•f（0）=b（1+a+b）＜0，
方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)僅有一根，
所以f（0）•f（1）=b（-1+a+b）＜0，
當(dāng)b＞0時(shí)，由b（1+a+b）＜0得，1+a+b＜0，即a＜-b-1，
由b（-1+a+b）＜0得，-1+a+b＜0，即a＜-b+1，
因?yàn)?b-1＜-b+1，所以a＜-b-1＜-1，即a＜-1；
當(dāng)b＜0時(shí)，由b（1+a+b）＜0得，1+a+b＜0，即a＞-b-1，
由b（-1+a+b）＜0得，-1+a+b＜0，即a＞-b+1，
因?yàn)?b-1＜-b+1，所以a＞-b+1＞1，即a＞1；
當(dāng)b=0時(shí)，因?yàn)閒（0）=0，所以f（x）=0有一根0，
這與題意不符．
∴a＞1或a＜-1．

點(diǎn)評：本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論得數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練了利用分離變量求函數(shù)的最值，考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，在區(qū)間（a，b）內(nèi)，若f（a）•f（b）＜0，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)必有根．此題是中檔題．