Question

【題目】已知函數(shù) ， ，其中 ．
（1）當 時，求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若對任意的 ， （ 為自然對數(shù)的底數(shù)）都有 成立，求實數(shù) 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：當 時，
解得 或 ，
則函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，
（2）解：對任意的 都有 成立等價于在定義域 內(nèi)有 ．
當 時， ．
∴函數(shù) 在 上是增函數(shù)．
∴ ．
∵ ，且 ， ．
①當 且 時， ，(僅在 且 時取等號)
∴函數(shù) 在 上是增函數(shù)，
∴ .
由 ，得 ，
又 ，∴ 不合題意．
②當 時，
若 ，則 ，
若 ，則 ．
∴函數(shù) 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)．
∴ . 由 ，得 ，
又 ，∴ ．
③當 且 時， ，(僅在 且 時取等號)
∴函數(shù) 在 上是減函數(shù)．
∴ .
由 ，得 ，
又 ，∴ ．
綜上所述：
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題等價于在定義域[1，e]內(nèi)有f（x）min≥g（x）max ， 通過討論a的范圍分別求出f（x），g（x）的最值，求出a的范圍即可．