【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1),g(x)=ex .
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當a≠0時,過原點分別作曲線y=f(x)與y=g(x)的切線l1 , l2 , 已知兩切線的斜率互為倒數(shù),證明: <a< ;
(3)設(shè)h(x)=f(x+1)+g(x),當x≥0,h(x)≥1時,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:依題意,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),對f(x)求導,得 .
①若a≤0,對一切x>0有f'(x)>0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).
②若a>0,當 時,f'(x)>0;當 時,f'(x)<0.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是
(2)解:設(shè)切線l2的方程為y=k2x,切點為(x2,y2),則 , ,
所以x2=1,y2=e,則 .
由題意知,切線l1的斜率為 ,l1的方程為 .
設(shè)l1與曲線y=f(x)的切點為(x1,y1),則 ,
所以 , .
又因為y1=lnx1﹣a(x1﹣1),消去y1和a后,整理得 . (6分)
令 ,則 ,m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
若x1∈(0,1),因為 , ,所以 ,
而 在 上單調(diào)遞減,所以 .
若x1∈(1,+∞),因為m(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且m(e)=0,則x1=e,
所以 (舍去).
綜上可知,
(3)解:證明:h(x)=f(x+1)+g(x)=ln(x+1)﹣ax+ex, .
①當a≤2時,因為ex≥x+1,所以 ,h(x)在[0,+∞)上遞增,h(x)≥h(0)=1恒成立,符合題意.
②當a>2時,因為 ,所以h′(x)在[0,+∞)上遞增,且h′(0)=2﹣a<0,則存在x0∈(0,+∞),使得h′(0)=0.
所以h(x)在(0,x0)上遞減,在(x0,+∞)上遞增,又h(x0)<h(0)=1,所以h(x)≥1不恒成立,不合題意.綜合①②可知,所求實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,2]
【解析】(1)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,注意對參數(shù)a的分類討論;(2)背景為指數(shù)函數(shù)y=ex與對數(shù)函數(shù)y=lnx關(guān)于直線y=x對稱的特征,得到過原點的切線也關(guān)于直線y=x對稱,主要考查利用導函數(shù)研究曲線的切線及結(jié)合方程有解零點存在定理的應(yīng)該用求參數(shù)的問題,得到不等式的證明;(3)考查利用導數(shù)處理函數(shù)的最值和不等式的恒成立求參數(shù)的范圍問題,求導過程中用到了課后習題ex≥x+1這個結(jié)論,考查學生對課本知識的掌握程度.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了至月份每月號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
晝夜溫差 () | ||||||
就診人數(shù)(個) |
該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取組,用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(1)求選取的組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩月的概率;
(2)若選取的是1月與月的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過人,則認為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?
參考數(shù)據(jù),
(參考公式: ,)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我們可以用隨機模擬的方法估計π的值,如圖程序框圖表示其基本步驟(函數(shù)RAND是產(chǎn)生隨機數(shù)的函數(shù),它能隨機產(chǎn)生(0,1)內(nèi)的任何一個實數(shù)).若輸出的結(jié)果為521,則由此可估計π的近似值為( )
A.3.119
B.3.126
C.3.132
D.3.151
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】過 做拋物線 的兩條切線,切點分別為 , .若 .
(1)求拋物線 的方程;
(2) , ,過 任做一直線交拋物線 于 , 兩點,當 也變化時,求 的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在統(tǒng)計學中,偏差是指個別測定值與測定的平均值之差,在成績統(tǒng)計中,我們把某個同學的某科考試成績與該科班平均分的差叫某科偏差,班主任為了了解個別學生的偏科情況,對學生數(shù)學偏差x(單位:分)與物理偏差y(單位:分)之間的關(guān)系進行學科偏差分析,決定從全班56位同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析,得到他們的兩科成績偏差數(shù)據(jù)如下:
學生序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學偏差x | 20 | 15 | 13 | 3 | 2 | -5 | -10 | -18 |
物理偏差y | 6.5 | 3.5 | 3.5 | 1.5 | 0.5 | -0.5 | -2.5 | -3.5 |
(1)已知x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)若這次考試該班數(shù)學平均分為118分,物理平均分為90.5,試預測數(shù)學成績126分的同學的物理成績.
參考公式: ,.
參考數(shù)據(jù): .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的一個頂點為A(2,0),離心率為 .直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M、N.
(1)求橢圓C的方程.
(2)當△AMN的面積為 時,求k的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin2 .
(Ⅰ) 求角A的大;
(Ⅱ) 若b+c=2,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是等邊三角形,側(cè)面AA1B1B為正方形,且AA1⊥平面ABC,D為線段AB上的一點.
(Ⅰ) 若BC1∥平面A1CD,確定D的位置,并說明理由;
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的條件下,求二面角A1D﹣C﹣BC1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|.
(Ⅰ) 解不等式f(x+8)≥10﹣f(x);
(Ⅱ) 若|x|>1,|y|<1,求證:f(y)<|x|f( ).
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