Question

【題目】如圖所示，軸右邊存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，軸左邊存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，它們的方同皆垂直紙面向里．在原點(diǎn)處，一個(gè)帶正電的電荷量為、質(zhì)量為的粒子，在時(shí)以大小為的初速度沿正軸方向運(yùn)動(dòng)，在粒子開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，另一質(zhì)量和電荷量都與相同的粒子，從原點(diǎn)以大小為的初速度沿負(fù)軸方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．要想使和能在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相遇，試分析和計(jì)算它們出發(fā)的時(shí)間差的最小值，并求出與此對(duì)應(yīng)的相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域都處于真空中，且不考慮重力及、兩粒子之間的相互作用力．

Answer 1

【答案】；，

【解析】

帶電荷量為、質(zhì)量為、初速度為的粒子，當(dāng)它在磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果其初速度的方向與磁場(chǎng)方向垂直，由洛侖茲力和牛頓定律可知，它將在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．令和分別表示其周期和軌道半徑，則有

． ①

由此求得 ， ②

． ③

把這些結(jié)論用到本題中，可知粒子開(kāi)始在第一象限中運(yùn)動(dòng)（軸以右），有

， ④

． ⑤

經(jīng)半個(gè)周期（即）后，進(jìn)入第二、三象限中（軸以左），周期和軌道半徑變?yōu)?/span>

， ⑥

． ⑦

以后就按此模式在平面內(nèi)沿圖乙中的虛線運(yùn)動(dòng)．

同理，粒子開(kāi)始在第三象限（軸以左）中運(yùn)動(dòng)，有

， ⑧

． ⑨

經(jīng)半個(gè)周期（即）后，進(jìn)入第四象限（軸以右）運(yùn)動(dòng)，周期和軌道半徑變?yōu)?/span>

， ⑩

．

以后就按此模式在平面內(nèi)沿圖中實(shí)線運(yùn)動(dòng)．由以上分析可知，只要在右邊，不管是還是，周期皆為；只要在左邊，周期皆為．

由圖乙可見(jiàn)，只有在兩軌跡交叉或相切的那些點(diǎn)，才有相遇的可能性．為求得題中所說(shuō)的時(shí)間差的最小值，下面我們先假設(shè)，如果、同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，分析經(jīng)過(guò)哪個(gè)交叉或相切點(diǎn)時(shí)兩者的時(shí)間差最短，則這個(gè)時(shí)間差就應(yīng)當(dāng)?shù)扔陬}中所說(shuō)的要、在此交叉或相切點(diǎn)能相遇時(shí)，兩者出發(fā)時(shí)間的時(shí)間差．為此，結(jié)合圖乙分別考查、的運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)分析就可看出，在到之間的那個(gè)交叉點(diǎn)（圖乙中的點(diǎn)）處，、通過(guò)它的時(shí)間差最短（在以前和以后的那些交叉或相切點(diǎn)，、通過(guò)時(shí)的時(shí)間差都較長(zhǎng)）．

為了定量地求出此時(shí)間差，取負(fù)軸上距原點(diǎn)為（即）處為新的原點(diǎn)，如圖所示．取時(shí)間為新的起始計(jì)時(shí)時(shí)刻，對(duì)用表示，對(duì)用表示．在軸以左、的周期相同，所以角速度亦相同，以表示、在軸以左的角速度，有

．

對(duì)，有

，

．

對(duì)，有

，

．

對(duì)點(diǎn)應(yīng)有

，．

由以上各式可解得所求的時(shí)間差應(yīng)為

．

這個(gè)結(jié)果說(shuō)明，如、同時(shí)出發(fā)，則比晚時(shí)間通過(guò)點(diǎn)．換成題目的要求，就應(yīng)當(dāng)說(shuō)，要、相遇，則的出發(fā)時(shí)間應(yīng)比晚．

由以上各式還可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為

，

．

換為坐標(biāo)系，有

，

．

類(lèi)似于本題中的粒子在軸方向的“漂移”運(yùn)動(dòng)，是研究帶電粒子在電場(chǎng)或磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)常討論的問(wèn)題之一．討論這一問(wèn)題必然會(huì)涉及帶電粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在時(shí)間與空間問(wèn)題上的周期性討論，有時(shí)候這類(lèi)問(wèn)題看上去只是幾何關(guān)系的尋找，有點(diǎn)類(lèi)似于行程與相遇問(wèn)題而被我們輕視，但這一關(guān)系卻往往會(huì)成為我們解答問(wèn)題的瓶頸．

處理這類(lèi)問(wèn)題，我們雖然有“跟著過(guò)程走”的口訣，但在具體的執(zhí)行過(guò)程中，我們有時(shí)很難堅(jiān)持做到．平時(shí)訓(xùn)練時(shí)，對(duì)這類(lèi)試題一定不要覺(jué)得 “簡(jiǎn)單”而厭煩其過(guò)程分析，避免在考試時(shí)出現(xiàn)在心理上回避此類(lèi)問(wèn)題的情況．