Question

【題目】近代的材料生產(chǎn)和微加工技術(shù)，可制造出一種使電子的運動限制在半導體的一個平面內(nèi)（二維）的微結(jié)構(gòu)器件，且可做到電子在器件中像子彈一樣飛行，不受雜質(zhì)原子散射的影響．這種特點可望有新的應用價值．圖甲所示為四端十字形．二維電子氣半導體，當電流從1端進入時，通過控制磁場的作用，可使電流從2，3或4端流出．對下面模擬結(jié)構(gòu)的研究，有助于理解電流在上述四端十字形導體中的流動．在圖乙中，、、、為四根半徑都為的圓柱體的橫截面，彼此靠得很近，形成四個寬度極窄的狹縫1、2、3、4，在這些狹縫和四個圓柱所包圍的空間（設為真空）存在勻強磁場，磁場方向垂直紙面指向紙內(nèi)．以表示磁感應強度的大小．一個質(zhì)量為、電荷量為的帶正電的粒子，在紙面內(nèi)以速度沿與、都相切的方向由縫1射入磁場內(nèi)，設粒子與圓柱表面只發(fā)生一次碰撞，碰撞是彈性的，碰撞時間極短，且碰撞不改變粒子的電荷量，也不受摩擦力作用．試求為何值時，該粒子能從縫2處且沿與、都相切的方向射出？

Answer 1

【答案】

【解析】

在圖中紙面內(nèi)取坐標（如圖丙所示），原點在狹縫1處，軸過縫1和縫3．粒子從縫1進入磁場，在洛侖茲力作用下做圓周運動，圓軌道在原點與軸相切，故其圓心必在軸上．若以表示此圓的半徑，則圓方程為．

根據(jù)題目要求和對稱性可知，粒子在磁場中做圓周運動時應與的柱面相碰于縫3、4間的圓弧中點處，碰撞處的坐標為

，，解得．

由洛侖茲力和牛頓定律有，所以，．

本題是第26屆全國中學生物理競賽預賽試題．

帶電粒子在磁場中的運動是常規(guī)教學中訓練最多的題型之一．解答此類問題，要求答題者具備較強的幾何認知能力，對帶電粒子的各種圓軌跡的形態(tài)、邊界、圓心位置的確定、半徑的計算等，能做到熟練應對．

遺憾的是，在常規(guī)教學中對軌跡的討論幾乎都局限在平面內(nèi)進行，而在競賽中往往又會出現(xiàn)空間特性，要求更高．