【題目】天府新區(qū)某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中,對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究:
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖1,在等邊△ABC中,點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn),連接AP,以AP為邊作等邊△APQ,連接CQ.求證:BP CQ;
(2)變式探究:如圖2,在等腰△ABC中,ABBC,點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn),以AP為腰作等腰△APQ,使AP PQ,APQ ABC,連接CQ.判斷∠ABC和∠ACQ的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)解決問(wèn)題:如圖3,在正方形ADBC中,點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn),以AP為邊作正方形 APEF,Q是正方形APEF的中心,連接CQ.若正方形APEF的邊長(zhǎng)為6,,求正方形ADBC的邊長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2),理由見(jiàn)解析;(3)正方形ADBC的邊長(zhǎng)為.
【解析】
(1)易證∠BAP=∠CAQ,根據(jù)AB=AC,AP=AQ,由SAS證得△BAP≌△CAQ,即可得出結(jié)論;
(2)由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠PAQ,證得△BAC∽△PAQ,得出,易證∠BAP=∠CAQ,則△BAP∽△CAQ,可得∠ABC=∠ACQ;
(3)連接AB、AQ,由正方形的性質(zhì)得出,∠BAC=45°,,∠PAQ=45°,易證∠BAP=∠CAQ,則可得△ABP∽△ACQ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BP=4,設(shè)PC=x,則BC=AC=4+x,在Rt△APC中,利用勾股定理列方程求出x,即可得出結(jié)果.
(1)證明:如圖1,與都是等邊三角形,
,
,
.
又,,
,
;
(2),
理由:如圖2,在中,,
,
在中,,
,
,
,
,
,
又,,
,
,
∴;
(3)如圖3,連接,,
正方形,
,,
又為正方形的中心,
,,
,,
,
,
,
,
,
,
設(shè),則,
在中,,即,
解得:,
,
,
邊長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到正方形A′B′CD′(此時(shí),點(diǎn)B′落在對(duì)角線(xiàn)AC上,點(diǎn)A′落在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上),A′B′交AD于點(diǎn)E,連接AA′、CE.
求證:(1)△ADA′≌△CDE;
(2)直線(xiàn)CE是線(xiàn)段AA′的垂直平分線(xiàn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形,連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線(xiàn)段叫做這個(gè)損矩形的直徑.如圖1,∠ABC=∠ADC=90°,四邊形ABCD是損矩形,則該損矩形的直徑是線(xiàn)段AC.同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn):在公共邊的同側(cè)的兩個(gè)角是相等的.如圖1中:△ABC和△ABD有公共邊AB,在AB同側(cè)有∠ADB和∠ACB,此時(shí)∠ADB=∠ACB;再比如△ABC和△BCD有公共邊BC,在CB同側(cè)有∠BAC和∠BDC,此時(shí)∠BAC=∠BDC.
(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中再找出一對(duì)這樣的角來(lái): = .
(2)如圖2,△ABC中,∠ABC=90°,以AC為一邊向外作菱形ACEF,D為菱形ACEF對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),連接BD,當(dāng)BD平分∠ABC時(shí),判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)在第(2)題的條件下,若此時(shí)AB=6,BD=8,求BC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示,直線(xiàn)x=1為對(duì)稱(chēng)軸,以下結(jié)論①a<0,②b>0,③2a+b=0,④3a+c<0正確的有(填序號(hào))_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的圖象如圖所示,對(duì)稱(chēng)軸為x=1,給出下列結(jié)論:①abc<0;②b2>4ac;③4a+2b+c<0;④2a+b=0..其中正確的結(jié)論有:
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C,G是⊙O上兩點(diǎn),且,過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)CD⊥BG于點(diǎn)D,交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接BC,交OD于點(diǎn)F.
(1)求證:CD是⊙O的切線(xiàn);
(2)若,求證:AE=AO;
(3)連接 AD,在(2)的條件下,若CD ,求AD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是上的兩個(gè)定點(diǎn),為優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交射線(xiàn)于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,點(diǎn)在上,且.
(1)求證:與相切;
(2)已知:
①若,求的長(zhǎng);
②當(dāng)兩點(diǎn)間的距離最短時(shí),判斷四點(diǎn)所組成的四邊形的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD,對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O,線(xiàn)段OE⊥OF,且與邊AD、AB交于點(diǎn)E、F.
(1)求證:OE=OF;
(2)連接EF,交AC于點(diǎn)H,若HF:AF=:2,求OH:EF;
(3)若E、F分別在DA、AB延長(zhǎng)線(xiàn)上,OE與AB交于點(diǎn)M,若△MOF∽△EAF,AF=1,求正方形ABCD的邊長(zhǎng).
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