Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，2），B（3，0），拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．
（1）a=-$\frac{2}{3}$，b=$\frac{4}{3}$；
（2）若點(diǎn)D為線段OB上一點(diǎn)，連接AD，作AC⊥AD交y軸正半軸于點(diǎn)C．
①當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）時(shí)，AC經(jīng)過(guò)y=ax²+bx+2的頂點(diǎn)P；
②連結(jié)CD、AB，設(shè)△ADC與△ABD的面積之差為S，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)D在何處時(shí)S最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析 （1）把A、B坐標(biāo)代入可求得答案；
（2）①設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)E，連接AE，過(guò)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，由條件可證明△AEC≌△AFD，則可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；②

解答 解：
（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+2=2}\\{9a+3b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
故答案為：-$\frac{2}{3}$；$\frac{4}{3}$；
（2）①由（1）知，經(jīng)過(guò)A、B、P的拋物線為y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2，故頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\frac{8}{3}$）．
如圖1，設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)E，連接AE，則AE∥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x于點(diǎn)F，

則AE=AF=2，
∵∠CAD=∠EAF=90°，
∴∠CAE=∠FAD
在△ACE與△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠FAD}\\{∠CEA=∠AFD=90°}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△ADF（AAS）．
∴CE=DF，
設(shè)直線AP解析式為y=kx+s，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+s=2}\\{k+s=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{s=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AP解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$，令x=0可得y=$\frac{10}{3}$，
∴OC=$\frac{10}{3}$，且OE=2，
∴DF=CE=$\frac{10}{3}$-2=$\frac{4}{3}$，
∵F（2，0），
∴OF=2，
∴OD=OF-DF=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴D（$\frac{2}{3}$，0），
故答案為：（$\frac{2}{3}$，0）；
②設(shè)BD=a，則FD=a-1，
∴AD²=DF²+AF²=（a-1）²+2²=a²-2a+5，
又AC=AD，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•AD=$\frac{1}{2}$（a²-2a+5），
又∵S_△ADB=$\frac{1}{2}$DC•AD=$\frac{1}{2}$×a×2=a，
∴S=$\frac{1}{2}$（a²-2a+5）-a=$\frac{1}{2}$a²-2a+$\frac{5}{2}$，
即S=$\frac{1}{2}$（a-2）²+$\frac{1}{2}$；
∴當(dāng)a=2（在0＜a＜3范圍內(nèi)）時(shí)，S_最小值=$\frac{1}{2}$，
即當(dāng)點(diǎn)D在（1，0）時(shí)，S最小值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn)，能夠正確的將求圖形面積最大（�。﹩�(wèn)題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)求最值的問(wèn)題是解答（2）②題的關(guān)鍵．