Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的投影矩形定義如下：矩形的兩組對(duì)邊分別平行于軸，軸，圖形的頂點(diǎn)在矩形的邊上或內(nèi)部，且矩形的面積最小.設(shè)矩形的較長(zhǎng)的邊與較短的邊的比為，我們稱(chēng)常數(shù)為圖形的投影比，如圖1，矩形為的投影矩形，其投影比.

（1）如圖2，若點(diǎn)，則投影比的值為_(kāi)_______________；

（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)，且投影比，則點(diǎn)坐標(biāo)可能是__________（填寫(xiě)序號(hào)）；

① ② ③ ④

（3）已知點(diǎn)，在直線上有一點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)，且，是否存在這樣的，使得的投影比為定值？若存在，請(qǐng)求出的范圍及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①②；（3）當(dāng)m≤1時(shí)，k=2；當(dāng)3≤m＜5時(shí)，k=4．

【解析】

（1）在圖2中做出投影矩形，根據(jù)投影比可得到結(jié)論．

（2）根據(jù)每一個(gè)點(diǎn)作投影圖形，分別討論即可得到答案；

（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)m的取值分類(lèi)討論．

（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C，作軸于點(diǎn)D，則矩形OCBD為△OAB的投影矩形，

∵，

∴OC=3，BC=6，

∴△OAB投影比k的值=2,．

（2）如圖，

①點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，投影比；

②點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，投影比；

③點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，投影比；

④點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，投影比；

故答案是①②．

（3）在中，y=2時(shí)，則x=1；x=5時(shí)，y=10，

∴F（5,10）

當(dāng)m≤1時(shí)，作為投影矩形，如圖所示，

此時(shí)點(diǎn)P（m,2m），PA′=10-2m，FA′=5-m，

∴投影比k=；

當(dāng)3≤m＜5時(shí)，此時(shí)A′E=10-2=8，B′E=5-3=2，此時(shí)k=．

綜上所述：當(dāng)m≤1時(shí)，k=2；當(dāng)3≤m＜5時(shí)，k=4．