【題目】如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角,點D為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF,解答下列問題:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.
①當點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖乙,線段CF、BD之間的位置關(guān)系是什么?寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系.
②當點D在線段BC的延長線上時,如圖丙,①中的結(jié)論是否仍然成立,請證明?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,點D在線段BC上運動.試探究:當△ABC滿足一個什么條件時,CF⊥BC(點C、F重合除外)?直接寫出條件,不需要證明.
(3)若AC=4 ,BC=3,在(2)的條件下,求△ABC中AB邊上的高.
【答案】
(1)
解:①如圖1,
∵四邊形ADEF是正方形,
∴∠DAF=90°,AD=AF,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中,
,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴CF=BD,
∴∠B=∠ACF,
∴∠B+∠BCA=90°,
∴∠BCA+∠ACF=90°,
即CF⊥BD;
②當點D在BC的延長線上時,①的結(jié)論仍成立.
如圖2,
由正方形ADEF得:AD=AF,∠DAF=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠DAF=∠BAC.
∴∠DAB=∠FAC.
又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC(SAS).
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ACF=45°.
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即 CF⊥BD
(2)
解:當∠BCA=45°時,CF⊥BD;
理由如下:
如圖3,過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G,
∵∠ACB=45°,
∴△AGC等腰直角三角形,
∴AG=AC,∠AGC=∠ACG=45°,
∵AG=AC,AD=AF,
∵∠GAD=∠GAC﹣∠DAC=90°﹣∠DAC,∠FAC=∠FAD﹣∠DAC=90°﹣∠DAC,
∴∠GAD=∠FAC,
∴△GAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠AGD=45°,
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°,
∴CF⊥BC;
(3)
解:當具備∠BCA=45°,AC=4 ,BC=3時,
如圖4,過點A作AQ⊥BC交CB的延長線于點Q,
∵∠BCA=45°,
∴AQ=CQ=4.
∴△ABC為鈍角三角形,
∴BQ=1,
由勾股定理得:則AB= = ,
設AB邊上的高為h,
S△ABC= ABh= BCAQ,
∴ h= ×3×4,
∴h= ,
答:△ABC中AB邊上的高為 .
【解析】(1)①由四邊形ADEF是正方形與AB=AC,∠BAC=90°,易證得△BAD≌△CAF,然后由全等三角形的性質(zhì),可證得CF=BD,繼而求得∠BCA+∠ACF=90°,即CF⊥BD;②由四邊形ADEF是正方形與AB=AC,∠BAC=90°,易證得△BAD≌△CAF,然后由全等三角形的性質(zhì),可證得CF=BD,繼而求得∠BCA+∠ACF=90°,即CF⊥BD.(2)當∠ACB=45°時,過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G,則∠GAC=90°,可推出∠ACB=∠AGC,所以AC=AG,由(1)①可知CF⊥BD.(3)如圖4,作輔助線,構(gòu)建等腰直角三角形,說明△ABC是鈍角三角形,求AQ、BQ、AB的長,用面積法求出AB上的高為 .
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知拋物線y=x2-1與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.
(1)求A、B、C三點的坐標;
(2)過點A作AP∥CB交拋物線于點P,求四邊形ACBP的面積;
(3)在x軸上方的拋物線上是否存在一點M,過M作MG⊥x軸于點G,使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似?若存在,請求出M點的坐標;否則,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明和小慧兩位同學在數(shù)學活動課中,把長為30cm,寬為10cm的長方形白紙條粘合起來,小明按如圖甲所示的方法粘合起來得到長方形ABCD,粘合部分的長度為6cm,小慧按如圖乙所示的方法粘合起來得到長方形A1B1C1D1,黏合部分的長度為4cm.若長為30cm,寬為10cm的長方形白紙條共有100張,則小明應分配到 張長方形白紙條,才能使小明和小慧按各自要求黏合起來的長方形面積相等(要求100張長方形白紙條全部用完).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,將△ABC折疊,使點B恰好落在邊AC上,與點B′重合,AE為折痕,則EB′= .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,C為線段AB上一點,D在線段AC上,且AD=AC,E為BC的中點.
(1)若AC=6,BE=1,求線段AB、DE的長;
(2)試說明:AB+BD=4DE.
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